Bài viết trình bày rất đầy đủ các hệ thức lượng trong tam giác cùng một số trong những dạng toán liên quan, trong mỗi dạng toán, bài viết hướng dẫn bỏ ra tiết phương pháp giải toán, những ví dụ minh họa và bài bác tập từ luyện đi kèm.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 có lời giải

A. HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ tất cả $a$, $b$, $c$ thứu tự là độ dài bố cạnh đối diện với tía góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.

*

1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác: điện thoại tư vấn $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài các đường trung đường lần lượt vẽ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Những công thức tính diện tích tam giác: điện thoại tư vấn $R$, $r$ theo lần lượt là bán kính đường tròn nước ngoài tiếp, con đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ và $S$ là diện tích s của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).

B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCDạng 1: Tính một số yếu tố vào tam giác theo một số trong những yếu tố cho trước (trong đó có tối thiểu một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ thực hiện định lí cosin cùng định lí sin.+ tính toán các nguyên tố trung gian (trước khi tính yếu đuối tố buộc phải tìm) bằng những hệ thức lượng vào tam giác thích hợp.Chú ý: độc giả hãy ôn tập lại những hệ thức lượng vào tam giác vuông (đã học tập ở lớp 9).

Bài toán 1: cho tam giác $ABC$ tất cả $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính các cạnh cùng góc còn lại của tam giác.b) Tính diện tích của tam giác.c) Tính mặt đường cao $h_a$ vẽ tự $A$ của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do đó $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$

Bài toán 2: mang đến tam giác $ABC$ gồm $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính các cạnh và các góc sót lại của tam giác.b) Tính bán kính $R$ của con đường tròn ngoại tiếp tam giác.

*

a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta áp dụng định lí cosin khi biết $2$ cạnh cùng góc xen thân $2$ cạnh đó.– Ta áp dụng định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh với góc đối diện cạnh đó.+ $1$ cạnh cùng $2$ góc kề với nó (lúc này ta sẽ tính được góc đối diện cạnh đó).– việc đào bới tìm kiếm các nhân tố của tam giác lúc biết những yếu tố khác còn được gọi là giải tam giác.

Bài toán 3: đến tam giác $ABC$ có $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích s của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$

Dạng 2: minh chứng các hệ thức liên quan tới các yếu tố vào tam giác. Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng đã tất cả và những tính chất, những yếu tố trong tam giác để chứng minh.

Bài toán: đến tam giác $ABC$ có những cạnh $a$, $b$, $c$, những đường cao tương ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ hội chứng minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$

*

Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = p – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương từ ta chứng minh được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) dựa vào công thức tính diện tích tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$

Dạng 3: thừa nhận dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác và các tính chất của các tam giác quánh biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ ví như $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông trên $A.$+ ví như $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân nặng tại $A.$+ giả dụ $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.

Bài toán 1: xác định dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$

Theo cách làm Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông trên $A.$

Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có những góc và các cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C.$

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính các góc, những cạnh còn lại, đường cao $h_a$ và nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$

Bài toán 2: hotline $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung con đường ứng với những cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$

Bài toán 3: điện thoại tư vấn $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của những đường chéo cánh $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, triệu chứng minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) xác minh công thức tính đường chéo $d$ của hình thang cân biết đáy nhỏ là $a$, đáy to là $b$ và ở kề bên là $c.$

Bài toán 4: minh chứng tập các điểm mà tổng các bình phương khoảng cách đến $2$ điểm cố định $A$, $B$ mang đến trước bằng một trong những không thay đổi $k^2$ là 1 trong đường tròn.

Bài toán 5: mang đến tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$

Bài toán 6: call $r_a$, $r_b$, $r_c$ lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp ở trong cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ triệu chứng minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).

Xem thêm: " Đối Với Tiếng Anh Là Gì - Đối Với Tôi Tiếng Anh Là Gì

Bài toán 7: đến tam giác $ABC$, bệnh minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$

Bài toán 8: đến tam giác $ABC$, bệnh minh:a) giả dụ $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) ví như $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$

Bài toán 9: minh chứng điều kiện bắt buộc và đủ nhằm tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$

Bài toán 10: xác định dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$

Bài toán 11: chứng tỏ rằng giả dụ $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.