Bài tập mũ logarit lũy thừa áp dụng cao - khó có đáp án bỏ ra tiết

Ở phần này ta xét một vài Bài tập ở tại mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị khủng nhất, nhỏ dại nhất của hàm số mũ và logarit ở các chủ đề sau. 

Một số bài bác tập trắc nghiệm VDC chương 2 lớp 12 có giải thuật chi tiết

Bài tập 1:<Đề thi nghiên cứu Bộ giáo dục 2017> Xét những số thực $a,b$ vừa lòng $a>b>1.$ Tìm giá bán trị bé dại nhất $P_min $ của biểu thức $P=log _fracab^2left( a^2 ight)+3log _bleft( fracab ight).$ 

A. $P_min =19.$  B.

Bạn đang xem: Bài tập mũ logarit vận dụng cao

 $P_min =16.$ C. $P_min =14.$  D. $P_min =15.$ 

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có: $P=left( 2log _fracaba ight)^2+3left( log _ba-1 ight)=frac4left( log _afracab ight)^2+frac3log _ab-3=frac4left( 1-log _ab ight)^2+frac3log _ab-3$ 

Đặt $t=log _ab$ (Do $a>b>1Rightarrow 0

Bài tập 2: Cho những số thực dương $1>a>b>0.$ 

Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức $P=-3log _a^4fracab+log _b^2left( ab ight).$ 

A. $P_min =3$  B. $P_min =4$ C. $P_min =frac52$  D. $P_min =frac32$ 

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có: $P=-frac34log _afracab+left( log _bleft( ab ight) ight)^2=frac-34left( 1-log _ab ight)+left( log _ba+1 ight)^2$ 

Đặt $t=log _ba$ $left( 0

Bài tập 3: <Đề thi THPT tổ quốc năm 2017> Xét các số thực dương $a,b$ thỏa mãn

$log _2frac1-aba+b=2ab+a+b-3.$ Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $P=a+2b.$ 

A. $P_min =frac2sqrt10-32.$  B. $P_min =frac2sqrt10-52.$ C. $P_min =frac3sqrt10-72.$  D. $P_min =frac2sqrt10-12.$ 

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có: $log _2frac1-aba+b=2ab+a+b-3Leftrightarrow log _2left( 1-ab ight)-log _2left( a+b ight)=2ab-2+a+b-1$ 

$Leftrightarrow log _2left( 1-ab ight)+1+2left( 1-ab ight)=log _2left( a+b ight)+a+bLeftrightarrow log _2left< 2left( 1-ab ight) ight>+2left( 1-ab ight)=log _2left( a+b ight)+a+b$ 

Xét hàm số $fleft( t ight)=log _2t+t$ $left( t>0 ight)$ ta có: $f"left( t ight)=frac1tln 2+1>0$ $left( forall t>0 ight)$ đề nghị hàm số $fleft( t ight)$ đồng trở thành trên khoảng tầm $left( 0;+infty ight).$ khi đó $fleft< 2left( 1-ab ight) ight>=fleft( a+b ight)Leftrightarrow 2left( 1-ab ight)=a+b.$ 

Suy ra $2ab+a+b=2Rightarrow a=frac2-b1+2bRightarrow P=frac2-b1+2b+2bRightarrow P"=frac-5left( 1+2b ight)^2+2=0Rightarrow b=frac12left( sqrtfrac52-1 ight)$ 

Khi đó $P_min =frac2sqrt10-32.$ Chọn A.

 

Bài tập 4: <Đề thi THPT quốc gia năm 2017> Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn

$log _3frac1-xyx+2y=3xy+x+2y-4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất $P_min $ của $P=x+y$ 

A. $P_min =frac9sqrt11-199.$  B. $P_min =frac2sqrt11-33.$ C. $P_min =frac18sqrt11-2921.$  D. $P_min =frac9sqrt11+199.$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $log _3frac1-xyx+2y=3xy+x+2y-4Leftrightarrow log _3left( 1-xy ight)-log _3left( x+2y ight)+3-3xy+1=x+2y$ 

$Leftrightarrow log _33left( 1-xy ight)+3-3xy=log _3left( x+2y ight)+x+2y.$ 

Xét hàm số $fleft( t ight)=log _3t+t$ $left( t>0 ight)$ ta có: $f"left( t ight)=frac1tln 3+1>0$ $left( forall t>0 ight)$ yêu cầu hàm số $fleft( t ight)$ đồng biến chuyển trên khoảng tầm $left( 0;+infty ight).$ do đó $fleft( 3-3xy ight)=fleft( x+2y ight)Leftrightarrow 3-3xy=x+2y$

Khi kia $xleft( 1+3y ight)=3-2yRightarrow P=y+frac3-2y1+3yRightarrow P"left( y ight)=1-frac11left( 1+3y ight)^2=0Leftrightarrow y=frac-1+sqrt113$ (do $y>0).$

Từ đó suy ra $P_min =Pleft( frac-1+sqrt113 ight)=frac2sqrt11-33.$ Chọn B.

 

Bài tập 5: Cho $x,y$ là các số thực vừa lòng $log _4left( x+y ight)+log _4left( x-y ight)ge 1.$ Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất $P_Min$ của $P=2x-y$ 

A. $P_min =4.$  B. $P_min =-4.$ C. $P_min =2sqrt3.$  D. $P_min =frac10sqrt33.$ 

Lời giải đưa ra tiết:

Ta có: $log _4left( x+y ight)+log _4left( x-y ight)ge 1Leftrightarrow x^2-y^2ge 4Rightarrow xge sqrty^2+4$ 

Do kia $Pge 2sqrty^2+4-y=f(y).$ . Khi đó $P"=frac2ysqrty^2+4-1=0xrightarrowy>0y=frac2sqrt3$

Suy ra $P_min =2sqrt3.$ Chọn C.

 

Bài tập 6: Cho nhị số thực dương $x,y$ biến hóa thỏa mãn hệ thức $3+ln fracx+y+13xy=9xy-3x-3y.$ Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất $m$ của biểu thức $P=xy.$

A. $m=frac13.$  B. $m=1.$ C. $m=frac12.$  D. $m=0.$ 

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết, ta tất cả $3+ln fracx+y+13xy=9xy-3x-3yLeftrightarrow 3+ln left( x+y+1 ight)-ln left( 3xy ight)=9xy-3x-3y$

$Leftrightarrow ln left( x+y+1 ight)+3left( x+y+1 ight)=ln left( 3xy ight)+3left( 3xy ight)Leftrightarrow fleft( x+y+1 ight)=fleft( 3xy ight)left( * ight)$ 

Xét hàm số $fleft( t ight)=ln t+3t$ với $t>0,$ ta tất cả $f"left( t ight)=3+frac1t>0;forall t>0Rightarrow fleft( t ight)$ là hàm số đồng biến.

Khi đó $left( * ight)Leftrightarrow x+y+1=3xyLeftrightarrow 3xy-1=x+yunderbracege _AM-GM2sqrtxyLeftrightarrow 3xy-2sqrtxy-1ge 0.$ 

$Leftrightarrow left( sqrtxy-1 ight)left( 3sqrtxy+1 ight)ge 0Leftrightarrow sqrtxyge 1Leftrightarrow xyge 1Rightarrow P_min =1Rightarrow m=1.$ Chọn B.

 

Bài tập 7: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>1,b>1.$ 

Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức $P=frac272left( 2.log_aba+log _abb ight)^2+4log _aab.$ 

A. $P_min =36.$  B. $P_min =24.$ C.

Xem thêm: Bài 7 Trang 20 Sbt Vật Lý 9 Bài 7 Trang 20 Sgk, Please Wait

 $P_min =32.$  D. $P_min =48.$ 

Lời giải đưa ra tiết:

Ta tất cả $P=frac272left( 2.log_aba+log _abb ight)^2+4log _aab=frac272left( frac2log _aab+frac1log _bab ight)^2+4.log _ab+4.$

Đặt $t=log _ab$ $left( t>0 ight)Leftrightarrow log _ba=frac1t,$ lúc ấy $P=frac272.left( frac2t+1+fractt+1 ight)^2+4t+4=frac272.left( fract+2t+1 ight)^2+4t+4.$ 

Xét hàm số $fleft( t ight)=frac272.left( fract+2t+1 ight)^2+4t$ với $tin left( 0;+infty ight)$ 

Ta có $f"left( t ight)=fracleft( t-2 ight)left( 2t+5 ight)^2left( t+1 ight)^3;f"left( t ight)=0Leftrightarrow t=2.$ 

Dựa vào bảng đổi thay thiên, ta thấy rằng $fleft( t ight)$ đạt giá bán trị nhỏ nhất bởi $fleft( 2 ight)=32Rightarrow P_min =36.$