Nguyên hàm là dạng toán đặc biệt quan trọng trong công tác toán học THPT. Vậy nguyên hàm là gì? phương pháp giải những dạng bài bác tập nguyên hàm cơ bạn dạng và nâng cao? phương pháp làm bài xích tập nguyên hàm phòng Casio?… Trong nội dung bài viết dưới đây, slovenija-expo2000.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề này!.

Bạn đang xem: Bài tập nguyên hàm chống casio


Mục lục

3 những dạng bài tập nguyên hàm cơ bạn dạng và cách giải 3.1 bài xích tập nguyên hàm từng phần gồm lời giải3.2 bài bác tập nguyên lượng chất giác bao gồm lời giải4 một vài bài tập nguyên hàm phòng Casio

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số (f) xác minh trên (K). Hàm số (F) được call là nguyên hàm của (f) ví như (F"(x)=f(x)) với đa số (x) thuộc (K)


***Chú ý: trả sử hàm số (F) là một trong nguyên hàm của hàm số (f) bên trên (K) thì lúc ấy hàm số (y = F(x) + C) cũng là 1 trong những nguyên hàm của (f) trên (K) với tất cả hằng số (C)

Công thức nguyên hàm cơ bản

Dưới đó là một số công thức tính nguyên hàm cơ phiên bản thường được sử dụng:

1, (int 0dx = C)

2, (int dx =x+ C)

3, (int x^kdx = fracx^k+1k+1 +C) cùng với (k eq 1)

4, (int frac1x dx =ln |x| +C)

5, (int a^x dx = fraca^xln a +C) với (0

6, cùng với (k) là hằng số khác 0:

a, (int sin kx hspace2mm dx = frac-cos kxk +C)

b, (int cos kx hspace2mm dx = fracsin kxk +C)

c, (int e^kx dx = frace^kxk +C)

7,

a, (int frac1cos^2xdx = an x +C)

b, (int frac1sin^2xdx =-cot x +C)

Các dạng bài tập nguyên hàm cơ bạn dạng và giải pháp giải 

Bài tập nguyên hàm từng phần bao gồm lời giải

Định lý về nguyên hàm từng phần

Ta thực hiện công thức nguyên hàm từng phần sau đây:

Nếu ( u,v ) là hàm số gồm đạo hàm và liên tục trên ( K ) thì

(int u(x)v"(x)dx= u(x)v(x)dx-int u"(x)v(x)dx)

Hay được viết gọn gàng là:

(int u d v=uv-int vdu)

Ý tưởng của phương thức là trường đoản cú tích phân khó khăn (int u(x)v"(x)dx ) ta quy về tính tích phân ( int u"(x)v(x)dx) dễ hơn. Sau đấy là một bài bác tập nguyên hàm từng phần bao gồm giải giúp chúng ta nắm rõ hơn giải pháp sử dụng cách thức này

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm (F=int fracdxsqrt2x-1+4)

Cách giải:

Ta có

(int fracdxsqrt2x-1+4=int fracsqrt2x-1sqrt2x-1(sqrt2x-1+4)dx)

(=int fracdxsqrt2x-1.fracsqrt2x-1sqrt2x-1+4)

Đặt (sqrt2x-1=t Rightarrow dt =fracdxsqrt2x-1)

(Rightarrow F=int fractt+4dt)

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

(Rightarrow F=int fractt+4dt=int t.ln"(t+4)dt=t.ln(t+4)-int ln(t+4)dt)

Vì (int ln x ;dx=xln x-x) nên

(Rightarrow F=t.ln(t+4)-(t+4).ln(t+4)+(t+4)+C)

(=-4.ln(t+4)+t+C)

Thay (sqrt2x-1=t ) vào ta được

(F=sqrt2x-1-4ln(sqrt2x-1+4)+C)

Một số dạng toán nguyên hàm từng phần 

*

Bài tập nguyên các chất giác có lời giải

Dạng bài này họ sử dụng các biến đổi lượng giác và những công thức nguyên lượng chất giác nhằm tính toán.

Các đẳng thức lượng giác thường xuyên gặp

(sin^2x+cos^2x=1)

(sin 2x =2sin x cos x)

(cos 2x =2cos^2 x-1)

( an 2x =frac2 an x1- an^2 x)

Các đạo hàm hàm lượng giác

(sin’x = cos x)

(cos ‘x =-sin x)

( an’x =frac1cos^2x)

(cot’x =frac-1sin^2x)

Các nguyên hàm hàm vị giác

*

Các dạng bài tập nguyên hàm vị giác

*

*

*

*

Ví dụ:

Tính nguyên hàm (I=int fracdx3cos x + 4sin x+3)

Cách giải

Đặt (t= an fracx2Rightarrow left{eginmatrix dx=frac2dtt^2+1\ sin x=frac2tt^2+1 \ cos x =frac1-t^21+t^2 endmatrix ight.)

Thay vào ta được

(I=int fracfrac2dtt^2+13frac1-t^2t^2+1+4frac2tt^2+1+3=int frac2dt3-3t^2+8t+3t^2+3)

(=int frac2dt8t+6=frac14int fracd(8t+6)8t+6=frac14.|ln(8t+6)|+C)

Thay (t= an fracx2 ) vào ta được

(I=fracln (8 anfracx2+6)4+C)

Bài tập nguyên hàm đổi đổi mới số

Phương pháp đổi biến hóa số rất thú vị được áp dụng trong số bài toán nguyên hàm, tích phân. 

Một số bài bác tập nguyên hàm chống Casio

Đây là những dạng bài tập nguyên hàm nâng cao thường xuất hiện thêm trong các đề thi tốt nghiệp THPT tổ quốc nhằm tiêu giảm việc sử dụng máy tính bỏ túi để tôn vinh tính bốn duy của học tập sinh. Sau đây là một số dạng bài tập nguyên hàm có giải thuật chống Casio

Dạng 1: Đồng nhất hệ số với mẫu có dạng tích

Bài toán: Ta buộc phải tìm nguyên hàm (int fracA(x)f_1(x).f_2(x)…f_n(x)dx) cùng với ( f_i(x) , A(x) ) là các đa thức.

Ý tưởng ta sẽ phân tích

(fracA(x)f_1(x).f_2(x)…f_n(x)=fraca_1f_1(x)+fraca_2f_2(x)+…+fraca_nf_n(x))

Rồi từ kia tìm nguyên hàm của từng phân thức (fraca_if_i(x))

Ví dụ:

Giả sử nguyên hàm (I=int frac3x^2+3x+5x^3-3x+2dx=fracax-1+bln |x-1|+cln |x+2|+C)

Tính ( a+b+c )

Cách giải:

Ta có:

(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2))

(Rightarrow frac3x^2+3x+5x^3-3x+2) đã phân tích được bên dưới dạng (fracm(x-1)^2+fracnx-1+fracpx+2)

Ta có:

(fracm(x-1)^2+fracnx-1+fracpx+2=fracm(x+2)+n(x^2+x-2)+p(x^2-2x+1)(x-1)^2(x-2))

(=frac(n+p)x^2+(m+n-2p)x+(2m-2n+p)(x-1)^2(x-2))

Đồng nhất thông số ta có:

(left{eginmatrix n+p=3\ m+n-2p=3 \ 2m-2n+p=5 endmatrix ight.)

Giải phương trình ta được (left{eginmatrix m=frac113\ n=frac169 \ p=frac119 endmatrix ight.)

Vậy ta được:

(I=int (frac113(x-1)^2+frac169(x-1)+frac119(x+2))dx)

(=-frac113.frac1x-1+frac169ln|x-1|+frac119ln |x+2|)

Vậy (a=frac-113;b=frac169;c=frac119)

(Rightarrow a+b+c=-frac23)

Dạng 2 : nhảy tầng lầu

Đây là phương pháp áp dụng với số đông hàm số bao gồm bậc của tử số nhỏ hơn không hề ít so cùng với bậc của mẫu mã số nhằm mục đích tăng bậc của tử số đến gần cùng với bậc của mẫu mã số hơn để tính toán dễ ợt hơn. Tổng quát

( int fracdxx^n+a=frac12kint frac-x^n+adx )

(=frac12k(int fracf(x)+kx^n+adx+int fracf(x)-kx^n+adx))

Việc chọn ( f(x) ) và ( k ) phụ thuộc vào vào mẫu mã số trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ:

Cho nguyên hàm (I=int fracdxcos^3x=a.fracsin xcos^2 x+b. an (fracx2+fracpi4)+C)

Tính ( a-b )

Cách giải

Đặt ( t=sin x ) ta có

( int fracdxcos^3x=int fraccos x; dx cos^4 x=int fracdt(1-t^2)^2)

(= int frac14int ^2dt=int frac14(frac1t+1+frac1t-1)^2dt)

(= int frac14(frac1(t+1)^2+frac1(t+1)^2+frac2t^2-1)dt)

(=-frac14(t+1)-frac14(t-1)+int fracdx2cos x)

( =fract2(1-t^2)+frac12 an (fracx2+fracpi4)+C )

(=frac12.fracsin xcos^2 x+frac12. an (fracx2+fracpi4)+C)

Vậy (a=b=frac12Rightarrow a-b=0)

Dạng 3: Phân thức tất cả bậc tử lớn hơn mẫu

Với dạng bài bác này chúng ta thực hiện nay phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số rồi liên tục xử lý phần dư

Ví dụ:

Cho hàm số (f(x)=x^2+ax+ln|bx+1|+c). Hiểu được (f"(x)=frac4x^2+4x+32x+1) cùng ( f(0)=1 )

Tính ( a+b+c )

Cách giải:

Ta có

(frac4x^2+4x+32x+1=frac(2x+1)^2+22x+1=2x+1+frac12x+1)

Vậy

(f(x)=int frac4x^2+4x+32x+1dx=x^2+x+ln|2x+1|+c)

(Rightarrow a=1;b=2)

Vì (1=f(0)=cRightarrow c=1)

Vậy ( a+b+c=4 )

Bài tập nguyên hàm trắc nghiệm bao gồm lời giải

Dưới đó là một số bài xích tập nguyên hàm trắc nghiệm có giải thuật giúp chúng ta củng thế kiến thức:

Bài 1

Cho nguyên hàm (I=int fracln x + e^ln xxdx=a.ln^bx+e^ln x+C)

Tính ( 2a+b )

A. ( 1 )

B. ( 2 )

C. ( 3 )

D. ( 4 )

 (Rightarrow) C

Bài 2

Cho nguyên hàm ( I=fracdxsin x + an x =a.ln| anfrac x2|-b. an^2fracx2+C )

Tính ( a+2b )

A. ( -1 )

B. ( -frac12 )

C. ( 0 )

D. ( frac12 )

(Rightarrow) C

Bài 3

Cho nguyên hàm (I=frac4x^3-2x^2+2x+22x-1dx=ax^3+x^2+bln|2x-1| +C) và những mệnh đề sau

A. (a

B. (a+b=frac163)

C. ( a,b ) là các số nguyên dương

D. ( ab=1 )

Số mệnh đề đúng là

A. ( 1 )

B. ( 2 )

C. ( 3 )

D. ( 4 )

(Rightarrow) C

Bài 4

Cho nguyên hàm (I=frac(2x+1)e^x+2xe^x+1=ax^2+bx+ln(e^x+c))

Tính ( ab+c )

A. ( -1 )

B. ( -frac12 )

C. ( 1 )

D. ( 2 )

(Rightarrow) C

Bài 5

Cho nguyên hàm (I=int frac1-x^5x(1+x^5)dx=a(ln|x^5|+bln|1+x^5)+C))

Tính ( ab )

A. (frac25)

B. (frac45)

C. (frac-25)

D. (frac-45)

(Rightarrow) C

Bài viết trên trên đây của slovenija-expo2000.com vẫn hướng dẫn bạn các phương thức tính nguyên hàm cũng như cách làm bài xích tập nguyên hàm chống Casio.

Xem thêm: Chứng Minh Hình Thang Cân Nội Tiếp Đường Tròn Là Hình Thang Cân

Hi vọng những kiến thức và kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho chúng ta trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích về chủ đề những dạng bài xích tập nguyên hàm. Chúc bạn luôn học tốt!