Tích phân là kỹ năng quan trọng, nhằm học tốt thì học sinh cần nhớ toàn bộ công thức tích phân. Bài viết này sẽ giới thiệu toàn bộ công thức và hệ thống các dạng tích phân thường gặp mặt trong đề thi. Chỉ việc nhớ và vận dụng thành nhuần nhuyễn là bạn đã chiếm hữu điểm tối đa.
Bạn đang xem: Bảng tích phân cơ bản
Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp biến đổi từ phương pháp tính tích phân2. Một vài dạng toán thường gặpPhương pháp tính tích phân từng phần
Cơ sở lý thuyết
Khái niệm tích phân
Cho hàm số (fleft( x ight)) liên tục trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là một nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được call là tích phân của (f) trường đoản cú (a) đến (b). Kí hiệu:
$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$
Tính hóa học tích phân
Giả sử các hàm số (f,g) liên tiếp trên (left< a;b ight>,c) là vấn đề bất kì thuộc (left< a;b ight>). Lúc ấy ta có:
(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) bên trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).Công thức tích phân cơ bản
Tính tích phân thực hiện bảng nguyên hàm cơ bản
Khi tính tích phân các hàm số cơ bạn dạng (đa thức, lượng giác, mũ,…) những em cần để ý sử dụng bảng nguyên hàm những hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))
ở đó, (fleft( x ight)) là hàm liên tục trên (left< a;b ight>) cùng (Fleft( x ight)) là một nguyên hàm của (fleft( x ight)).
Tính tích phân gồm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đối với các tích phân dạng (intlimits_a^b fleft( x ight) ight ), phương thức chung là ta nỗ lực phá lốt giá trị tuyệt đối hàm (fleft( x ight)) bên trên từng khoảng bé dại nằm trong tầm (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt các tích phân đó.
Phương pháp đổi khác từ cách làm tính tích phân
1. Kỹ năng cần nhớ
Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )
2. Một số trong những dạng toán hay gặp
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi thay đổi (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )
Phương pháp tính tích phân từng phần
Kiến thức đề nghị nhớ
Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )
2. Một trong những bài toán hay áp dụng cách thức tích phân từng phần
Dạng 1: Tích phân gồm chứa hàm số logarit.
Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )Dạng 2: Tích phân gồm chứa hàm số mũ.
Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )Dạng 3: Tích phân gồm chứa hàm số lượng giác cùng hàm đa thức.
Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )Dạng 4: Tích phân bao gồm chứa hàm số lượng giác với hàm số mũ.
Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d
ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d
ight)dx ).
Xem thêm: Bài Soạn Văn Bài An Dương Vương Và Mị Châu Trọng Thủy, Soạn Bài Truyện An Dương Vương Và Mị Châu
Hy vọng với bài viết này để giúp ích bạn đạt hiệu quả cao.