1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi)
Bất đẳng thức mang tên gọi đúng là bất đẳng thức thân trung bình cùng và vừa phải nhân. Ở các nước trên cầm giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean với GM là viết tắt của Geometric mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được call theo tên của phòng Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), có nghĩa là bất đẳng thức Cauchy. Thiệt ra đấy là một phương pháp gọi thương hiệu không đúng mực vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này nhưng mà chỉ là bạn đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Mặc dù nhiên, để cho phù hợp với công tác sách giáo khoa, trong tài liệu này họ cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy (Côsi).
Bạn đang xem: Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân
Đây là 1 trong bất đẳng thức truyền thống nổi giờ và thân thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng tương đối nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và rất trị. Vào phạm vi công tác Toán THCS, bọn họ quan trung ương đến các trường thích hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.
2. Những dạng màn biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy
a. Dạng tổng quát
+ mang lại x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:
3. Một vài bất đẳng thức được suy ra tự bất đẳng thức Cauchy
+ $ x^2+y^2ge 2xy;,,,2left( x^2+y^2 ight)ge left( x+y ight)^2;,,sqrt2left( x+y ight)ge sqrtx+sqrty$
+ $ displaystyle x^2+y^2-xyge frac3left( x+y ight)^24$
+ $ x^2+y^2+z^2ge xy+yz+zx$
+ $ 3left( x^2+y^2+z^2 ight)ge left( x+y+z ight)^2ge 3left( xy+yz+zx ight)$
+ $ displaystyle x^2y^2+y^2z^2+z^2y^2ge xyzleft( x+y+z ight)$ + $ 3left( x^4+y^4+z^4 ight)ge left( xy+yz+zx ight)^2ge 3xyzleft( x+y+z ight)$
B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
1. Kỹ thuật lựa chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang vừa phải nhân
Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo hướng từ phía trái sang trọng phía phải. Trong chuỗi đánh giá, dòng ta xuất xắc quên kia là rất cần phải được bảo toàn lốt đẳng thức xẩy ra mà lại ta hay điện thoại tư vấn là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho biết thêm việc xác định điểm rơi cho 1 bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng thiết yếu của lựa chọn điểm rơi chính là việc xác định được vệt đẳng thức xảy ra lúc nào để hoàn toàn có thể sử dụng những review hợp lý.
Xem thêm: Vilemaw Là Gì - Baron Nashor,
Trong quá trình minh chứng các bất đẳng thức ta thường gặp mặt sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà không để ý dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Trước khi mày mò về kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang mức độ vừa phải nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta đã hiểu hơn sự việc dạng được đề cập.