Bài tập số phức nâng cao, tốt và cực nhọc chọn lọc

Với bài bác tập số phức nâng cao, hay với khó tinh lọc Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài xích tập trắc nghiệm gồm lời giải cụ thể với đầy đủ phương thức giải, ví dụ như minh họa để giúp đỡ học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài tập số phức từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Các bài toán số phức khó

*

20 bài tập Số phức

Câu 1: mang đến số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong khía cạnh phẳng Oxy tập vừa lòng điểm màn trình diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn trụ có diện tích:

A. S = 9πB. S = 12π.C. S = 16π.D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

*

|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, lúc đó (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập đúng theo điểm màn trình diễn số phức w là hình tròn trụ tâm I(7; -9), nửa đường kính r = 4

Vậy diện tích cần tra cứu là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: mang lại số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức

*

A.5B.4C.6D.8

Hướng dẫn:

Ta có:

*

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. đến số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá trị lớn số 1 max M với giá trị nhỏ tuổi nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. Max M = 5; min M = 1B. Max M = 5; min M = 2

C. Max M = 4; min M = 1D.max M = 4; min M = 2

Hướng dẫn:

Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 đề nghị max M = 5

Mặt khác:

*

khi z = -1 thì M = 1 phải min M = 1

Chọn A.

Câu 4. mang lại số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm kiếm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ tuổi nhất của biểu thức:

*

*

Hướng dẫn:

Ta có:

*

Mặt khác:

*

Vậy, giá bán trị nhỏ nhất của p. Là

*
, xảy ra khi z = -2i

giá trị lớn số 1 của phường bằng

*
xẩy ra khi z = 2i

Chọn A.

Câu 5. mang lại số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức p = |1 + z| + 3|1 - z|

*

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

*

=> y2 = 1 - x2 => x ∈ <-1; 1>

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 - z|

*

Xét hàm số:

*

Hàm số liên tục trên <-1; 1> cùng với x ∈ (-1; 1) ta có:

*

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

*

Chọn D.

Câu 6 . mang đến số phức z thỏa mãn nhu cầu điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

*

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| bé dại nhất là √5 - 1 lúc z = -1 + i√5 cùng |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

Câu 7. mang đến z1; z2 là nhị số phức phối hợp của nhau và vừa lòng

*
∈ R với |z1 - z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| =

*

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.

Không mất tính tổng thể ta coi b ≥ 0

Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z1; z2 là nhì số phức phối hợp của nhau phải z1; z2 ∈ R, mà:

*

Ta có:

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i ∈ R

*

Chọn C.

Câu 8. gọi z = x + yi là số phức vừa lòng hai điều kiện: |z - 2|2 + |z + 2|2 = 26 cùng

*
đạt giá chỉ trị to nhất. Tính tích xy.

*

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi thay vào đk thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36

Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Cầm cố vào điều kiện thứ hai, ta có:

*

Dấu bằng xẩy ra khi:

*

Chọn D.

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai đk |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá bán trị khủng nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, trung khu I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3

d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai đk nên d cùng (C) bao gồm điểm chung

*

Chọn D.

Câu 10. cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 cùng w = z + 1 + i bao gồm môđun bự nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5B. 3√2

C. √6D. 5√2

Hướng dẫn:

Gọi z = x + y; lúc đó: z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

*

Suy ra tập đúng theo điểm M(x; y) màn trình diễn số phức z thuộc con đường tròn (C) tâm I(1; -2) nửa đường kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là điểm biểu diễn mang đến số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

*

Suy ra |z + 1 + i|đạt quý hiếm lớn nhất khi MN bự nhất

Mà M, N ∈ (C) bắt buộc MN lớn nhất khi MN là 2 lần bán kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i

*

Chọn B

Câu 11: đến hai số phức z1; z2 gồm điểm biểu diễn lần lượt là M1; m2 cùng thuộc mặt đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1 và |z1 - z2| = 1. Tính quý giá biểu thức p. = |z1 + z2|

*

Hướng dẫn:

*

M1; m2 đường tròn (T) tất cả tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta bao gồm |z1 - z2| = 1 hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác phần nhiều cạnh bằng 1

Suy ra:

*

Chọn D.

Câu 12. cho những số phức a; b;c thỏa mãn a + b + c = 0 cùng |a| = |b| = |c| = 1. Call A; B: C lần lượt là vấn đề biểu diễn cho những số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC

*

Hướng dẫn:

Cách 1: (Tự luận)

+ trước tiên ta chứng tỏ tam giác ABC phần đông nội tiếp mặt đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ mang thiết |a| = |b| = |c| = 1. đề nghị A; B; C phần nhiều thuộc đường tròn (O;R = 1) .

+ Ta minh chứng tam giác ABC đều. Chú ý: |a - b| = AB

+ từ bỏ a + b + c = 0 đề xuất a = -b -c => |b + c| = 1 và |c + a| = |a + b| = 1 .

Mặt không giống theo hằng đẳng thức hình bình hành ta tất cả |a + b|2 + |a - b|2 = 2(|a|2 + |b|2) nên ta giành được |a - b|2 = 2.2 - 1 = 3 => |a - b| = √3 => AB = √3 .

Tương từ ta tính được BC = CA = √3 . Do đó tam giác ABC đầy đủ với cạnh bởi √3 nên có diện tích bằng

*

Cách 2: chuẩn hóa bằng các số phức:

*

Khi đó ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn nhu cầu các điều kiện của bài xích toán.

*

từ kia ta tìm được diện tích của tam giác ABC.

Chọn C.

Câu 13. gọi A, B, C lần lượt là vấn đề biểu diễn những số phức

*

Khi đó, mệnh đề nào dưới đấy là đúng.

A. A; B; Cthẳng hàng.B. Tam giác ABC là tam giác tù.

C. ΔABC là tam giác đều.D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn:

Ta bao gồm z1 = 2 - i; z2 = 3 + i; z3 = 2i.

Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).

Ta được:

*

- vày

*
nên tía điểm A; B; C không thẳng mặt hàng từ đó ta được tam giác ABC.

- dễ thấy tam giác ABC không phải là tam giác những và cũng chưa phải tam giác vuông.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B.

Câu 14. mang đến số phức z vừa lòng |z - 1 + 2i| + |z + 2 - i| = 3√2. điện thoại tư vấn M; m theo thứ tự là giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức p = |z - 3 + i|. Quý giá của tổng S = M + m là:

*

Hướng dẫn:

*

+ thứ nhất ta có mệnh đề thân quen thuộc: nếu như z; z’ lần lượt tất cả điểm trình diễn là A; A’ thì |z" - z| = A"A .

+ Xét những số phức z1 = 1 - 2i; z2 = -2 + i; z3 = 3 - i với z = x + yi lần lượt có điểm trình diễn là A; B; C cùng N.

Khi kia ta gồm giả thiết là na + NB = 3√2 (1) với AB = 3√2 (2).

Từ (1) và (2) ta được N nằm trong đoạn trực tiếp AB.

Yêu cầu việc là tìm min hoặc max của biểu thức S = NC cùng với ABC là 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó minP = NC; maxP = maxCA,CB .

+ Ta bao gồm đường thẳng AB: x + y + 1 = 0 nên

*

+ CA = √5;CB = √29 suy ra max phường = √29.

Chọn A.

Câu 15. cho 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt vừa lòng |z1| = |z2| = |z3| = 3 với

*
Biết rằng các điểm biểu diễn cho những số phức z1; z2; z3 theo lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60o

B. 90o

C. 150o

D. 120o

Hướng dẫn:

*

Giả sử zk = xk + yk, lúc ấy điểm A(x1; y1); B( x2; y2); C(x3; y3) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Từ trả thiết |z1| = |z2| = |z3| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C số đông thuộc mặt đường tròn trung khu O, bán kính R = 3.

*

(vì |z1| = |z2| = |z3| = 3 ) giỏi x1 - y1.i + x2 - y2.i = x3 - y3i.

*

+ do OA = OB = 3 cùng

*
đề nghị OACB là hình thoi với cùng 1 đường chéo cánh OC = 3.

+ Từ bên trên suy ra tam giác OAC; OBC phần đông cạnh bởi 3 nên ∠ACB = 120o

Chọn D.

Câu 16. cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn nhu cầu az2 + bz + c = 0 cùng |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính tế bào đun của số phức w = M - mi.

A. |w| = √3B. |w| = 1C. |w| = 2√3D. |w| = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn luôn có hai nghiệm khác nhau hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta có:

*

Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , khi ấy ta có:

*

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên bố số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy trở thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

*

Chọn A.

Câu 17. đến số phức z vừa lòng

*
. Tổng mức lớn nhất, nhỏ dại nhất của |z| là:

A. 3B. √5C. √13D. 5

Hướng dẫn:

*

Với giả thiết ta có:

*

Từ đó ta được:

*

Từ đó bằng phương pháp thay a rõ ràng ta được câu trả lời C.

Câu 18. mang lại số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1 Tìm tổng mức vốn lớn nhất, nhỏ dại nhất của biểu thức phường với phường = |1 + z22| - |1 + z| ?

A. 2 + √2B. 1 + 2√2C. -1 + 2√2D. 2 - √2

Hướng dẫn:

Ta có:

*

nên ta gồm maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.

*

Hàm số nghịch biến trên .

Từ đó ta được max phường = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.

+ Từ trên ta được:

*

Chọn A.

Câu 19. mang đến hai số phức z1; z2 thỏa mãn nhu cầu |z1|z1 = 4|z2|z2 cùng nếu call M, N là điểm biểu diễn z1; trong khía cạnh phẳng tọa độ thì tam giác giác tháng có diện tích s là 8. Tìm giá trị bé dại nhất của |z1 + z2|

A. 3√3B.8C. 6√2D.5

Hướng dẫn:

Giải theo trường đoản cú luận

+ Từ trả thiết |z1|z1 = 4|z2|z2, suy ra |z1| = 2|z2| cùng ta được z1 = 2z2.

+ trả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được

*
cùng M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) lần lượt là những điểm biểu diễn cho những số phức z1, và z2.

Ta có:

*

Từ diện tích s của tam giác OMN bằng 8 phải |bx + ay| = 16 giỏi |ab| = 4 (1).

Ta có:

*

Dấu bằng ra mắt khi và chỉ khi :

*

Chọn C.

Câu 20. mang lại hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i|. Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của |z1 - z2|

Hướng dẫn:

Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 = a + bi, N(c; d) là vấn đề biểu diễn của số phức z2 = c + di

Ta có: |z1 + 5| = 5 (z1 + 5)2 + b2 = 25

Vậy M thuộc con đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25

|z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i| 8c + 6d = 35

Vậy N thuộc mặt đường thẳng Δ 8x + 6y = 35

Dễ thấy mặt đường thẳng Δ không giảm (C) với |z1 - z2| = M .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy mang đến đường tròn (C) và đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M điều khiển xe trên (C) , N chạy trê tuyến phố thẳng Δ .

*

Gọi d là con đường thẳng qua I và vuông góc với Δ .

PT con đường thẳng d là 6x - 8y = -30.

Gọi H là giao điểm của d với Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

*

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

*

Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)

Tính thẳng HK, HL. Suy ra

*

Câu 21.

Xem thêm: Toán Lớp 6 Bài Tập Lũy Thừa Với Số Mũ Tự Nhiên Lớp 6, Ôn Tập Toán 6

trong số số phức z toại nguyện điều kiện: |z – 2 + 3i| = . Kiếm tìm số phức z bao gồm môđun bé dại nhất.

Hướng dẫn:

*

Giả sử z = x + yi, lúc đó:

*

=> Tập phù hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã chỉ ra rằng đường tròn trung tâm I(2; -3) và nửa đường kính Môđun của z đạt giá chỉ trị bé dại nhất khi và chỉ còn khi M thuộc mặt đường tròn và gần O nhất