Khái niệm số phức
Số phức tất cả dạng z = a + bi, (a, b ∈ ℜ), trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo: i² = - 1
Tập hợp các số phức là C
Nếu a = 0, z = bi được call là số thuần ảo
Nếu b = 0 , z = a + 0i được call là số thực
Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo
Số đối của phức z = a + bi là -z = - a - bi
Các phép toán bên trên tập số phức
Cho hai số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di.
Bạn đang xem: Các công thức số phức
Hai số phức bởi nhau:
Tổng, hiệu nhì số phức z₁ ± z₂ = (a ± b) + (b ± d)i.
Phép nhân hai số phức z₁.z₂ = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Phép chia hai số phức
Môđun của số phức, số phức liên hợp
Phương trình trên tập số phức
Công thức tính nhanh số phức thường được sử dụng trong các đề thi
Ví dụ áp dụng
Một số bài bác tập có giải thuật số phức
Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong khía cạnh phẳng Oxy tập vừa lòng điểm trình diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn trụ có diện tích:
A. S = 9π B. S = 12π. C. S = 16π. D.S = 25π.
Hướng dẫn:
Ta có:
|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)
Giả sử w = x + yi, lúc đó (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16
Suy ra tập hòa hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), nửa đường kính r = 4
Vậy diện tích s cần search là S = π.42 = 16π
Chọn C.
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức
A.5 B.4 C.6 D.8
Hướng dẫn:
Ta có:
Khi z = i thì A = 6
Chọn C.
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá bán trị lớn số 1 max M cùng giá trị bé dại nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|
A. Max M = 5; min M = 1 B. Max M = 5; min M = 2
C. Max M = 4; min M = 1 D.max M = 4; min M = 2
Hướng dẫn:
Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,
khi z = 1 thì M = 5 cần ma M = 5
Mặt khác:
khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1
Chọn A.
Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Kiếm tìm tích của giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Chọn A.
Câu 5. Cho số phức z vừa lòng |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức p. = |1 + z| + 3|1 - z|
Hướng dẫn:
Chọn D.
Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Xác minh nào sau đó là đúng?
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:
2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.
2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1
Vậy |z| nhỏ tuổi nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 với |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5
Chọn B.
Hướng dẫn:
Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.
Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0
Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3
đạt giá trị béo nhất. Tính tích xy.
Hướng dẫn:
Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai đk |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.
A. |z + i| = 2√41
B. |z + i| = 3√5
C. |z + i| = 5√2
D. |z + i| = √41
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi.
Xem thêm: Instead Of Là Gì? Cấu Trúc Và Cách Dùng Instead Of Cách Dùng Instead Of
Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, trọng điểm I(3; 4) cùng R = √5
Mặt khác:
M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3
d: 4x + 4y + 3 - M = 0
Do số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai đk nên d cùng (C) gồm điểm chung
Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 cùng w = z + 1 + i bao gồm môđun bự nhất. Số phức z có môđun bằng: