Hình thang là 1 trong hình tuy dễ dàng nhưng lại có tương đối nhiều tính chất phức hợp vì nó bao gồm nhiều ngôi trường hợp quan trọng và định lý cần ghi nhớ. Hôm nay, Top lời giải vẫn tổng hợp các phương thức chứng minh hình thang với hình thang câ.
Bạn đang xem: Cách chứng minh hình thang cân
I. Hướng dẫn chứng tỏ Hình thang
1. Cách chứng minh hình thang
– phương pháp 1: Chứng minh tứ giác đó gồm một cặp cạnh đối tuy nhiên song.
Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai tuyến phố thẳng AD với BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC với BD. Minh chứng tứ giác MNPQ là hình thang.
Ta có:
M là trung điểm của AE
N là trung điểm của BE
=> MN là mặt đường trung bình ứng với cạnh AB của ΔEAB, suy ra MN // AB (1)
Gọi R là trung điểm của AD
Trong ΔADB, RQ là con đường trung bình, suy ra RQ // AB
Trong ΔCAD, RP là con đường trung bình, suy ra RP // DC
mà DC // AB đề xuất RP // AB.
RQ và RP cùng đi qua R với cùng tuy vậy song với AB buộc phải theo định đề Ơclit thì RQ ≡ RP
Từ trên đây ta suy ra QP // AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ => Tứ giác MNPQ là hình thang vì chưng một cặp cạnh đối tuy vậy song.
– biện pháp 2: Chứng minh tứ giác đó có tổng nhị góc kề một cạnh bên bằng 180 độ.
Ví dụ: Cho tam giác ABC. Bên trên AC đem một điểm B’ làm sao để cho AB’ = AB cùng trên AB rước một điểm C’ làm thế nào để cho AC’ = AC. Chứng tỏ tứ giác BB’CC’ là hình thang.
Ta có:
AB’ = AB
=> ∆BAB’ cân nặng tại A
=> Góc ABB’ = (180°- Â)/2
Chứng minh tương tự, ta có: Góc AC’C = (180°- Â)/2
=> Góc ABB = Góc AC’C
=> Góc ABB’ + Góc B’BC’ = Góc AC’C + Góc B’BC’
=> Góc AC’C + Góc B’BC’ = 180°
=> Tứ giác BB’CC’ là hình thang do tổng nhì góc kề một lân cận bằng 180°
2. Tư tưởng về hình thang
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối tuy vậy song.
Từ hình vẽ, ta thấy: Hình thang cân nặng ABCD bao gồm AB // CD
3. Tính chất hình thang
– đặc thù 1: Hai góc kề một ở kề bên của hình thang gồm tổng bởi 180 độ (nằm tại vị trí trong cùng phía của nhì đoạn thẳng tuy vậy song là 2 cạnh đáy).
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD)
=> Góc A + Góc D = Góc B + Góc C = 180°
– đặc điểm 2: Hình thang gồm 2 cạnh đáy cân nhau thì hai sát bên sẽ tuy nhiên song và bằng nhau.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) gồm AB = CD
Xét tứ giác ABCD có: AB // CD cùng AB = CD
=> ABCD là hình bình hành bắt buộc AD // BC với AD = BC
Ngược lại, nếu như hình thang bao gồm 2 cạnh bên song tuy vậy thì chúng sẽ cân nhau và 2 cạnh đáy bởi nhau.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD), lại sở hữu AD // BC
Xét tứ giác ABCD có: AB // CD và AD // BC
=> ABCD là hình bình hành buộc phải AB = CD với AD = BC
– đặc điểm 3: Đường vừa đủ là đường thẳng nối trung điểm hai sát bên của hình thang.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) bao gồm E là trung điểm AD, F là trung điểm BC
=> MN là con đường trung bình của hình thang ABCD
+ đặc thù 3.1: Đường thẳng trải qua trung điểm 1 lân cận của hình thang và tuy nhiên song cùng với 2 cạnh đáy thì sẽ trải qua trung điểm của cạnh bên còn lại.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) bao gồm E là trung điểm AD, EF //AB (EF // CD) (F ∈ BC)
=> F là trung điểm BC
+ đặc điểm 3.2: Đường vừa đủ của hình thang sẽ song song cùng với 2 cạnh đáy với bằng một nửa tổng 2 đáy.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) có EF là mặt đường trung bình
=> EF// AB; EF // CD và EF = (AB+CD)/2
II. Phía dẫn chứng minh Hình thang cân
1. Khái niệm về hình thang cân
Trong hình học Euclid, hình thang cân nặng là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bởi nhau. Hình thang cân là một trường hợp đặc trưng của hình thang.
Từ khai niệm và theo như hình vẽ, ta có:
Hình thang cân nặng ABCD (AB // CD) => Góc C = Góc D
2. đặc thù hình thang cân
– đặc điểm 1: Trong một hình thang cân, hai kề bên bằng nhau.
Ví dụ: ABCD là hình thang cân (AB // CD)
=> AD = BC
– tính chất 2: Trong một hình thang cân, nhị đường chéo bằng nhau.
Ví dụ: Cho ABCD là hình thang cân nặng (AB // CD)
=> AC = BD
– đặc thù 3: Hình thang cân luôn luôn nội tiếp được vào một con đường tròn.
Ví dụ: ABCD là hình thang cân (AB // CD)
=> luôn luôn có một đường tròn trung tâm O nội tiếp hình thang này
3. Cách chứng minh hình thang cân
– bí quyết 1: Hình thang bao gồm hai góc kề một cạnh đáy đều nhau là hình thang cân.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân nặng tại A. Bên trên các lân cận AB, AC mang theo máy tự những điểm D, E thế nào cho AD = AE. Chứng tỏ rằng BDEC là hình thang cân.
a) Ta có: AD = AE (gt) buộc phải ∆ADE cân
⇒ Góc D2 = Góc E2
Mà góc A + D2 + E2 = góc A + B + C = 180°, trong lúc góc B = C do ΔABC cân nặng tại A (gt). Do vậy D2 = B ( địa chỉ đồng vị )
=> DE // BC, cho nên vì vậy BDEC là hình thang.
Lại gồm ΔABC cân tại A ⇒ Góc B = Góc C
Nên BDEC là hình thang cân là là hình thang gồm 2 góc đáy bằng nhau.
– cách 2: Hình thang gồm hai lân cận bằng nhau là hình thang cân.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) nội tiếp con đường tròn tâm O. Minh chứng rằng ABCD là hình thang cân.
Ta có: ABCD là hình thang
=> Góc A1 = Góc C1
=> sđ cung CD = sđ cung AB
=> AB = CD
=> ABCD là hình thang cân do là hình thang có 2 ở bên cạnh bằng nhau.
– bí quyết 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Ví dụ: Hình thang ABCD (AB // CD) bao gồm góc ACD = góc BDC. Chứng tỏ rằng ABCD là hình thang cân.
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
∆ECD gồm góc ACD = góc BDC nên là tam giác cân.
Xem thêm: Nhân Trung Là Gì? Xem Tướng Nhân Trung Cơ Bản Nhân Trung Là Gì
Suy ra EC = ED (1)
Tương từ bỏ xét ∆EAB có: Góc ABE = BAE vì cùng đều bởi góc ACD cùng góc BDC ( So le vào )
⇒ ∆EAB tại E suy ra: EA = EB (2)
Từ (1) với (2) ta có: EA + EC = EB + ED => AC = BD
=> ABCD là hình thang cân bởi vì là hình thang tất cả 2 đường chéo bởi nhau
III. Bài tập tất cả lời giải
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AB=BC với AC là tia phân giác của góc A. Minh chứng ABCD là hình thang.