Cách gộp nghiệm

Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Biểu diễn nghiệm trên tuyến đường tròn lượng giác:

Cung lượng giácα+k2πm; k∈ℤ được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác (các điểm cách nhau đúng góc 2πm)

Bước 1: khẳng định điểm M biểu diễn cung .Bạn đã xem: phương pháp gộp chúng ta nghiệm của phương trình lượng giác

Bước 2: xác định m – 1 điểm còn lại cách hầu hết điểm M một góc 2πm. (Hoặc phân chia đường tròn thành m phần bởi nhau, bắt đầu chia tự điểm M, ta được m – 1 điểm còn lại).

Bạn đang xem: Cách gộp nghiệm

2. Công thức:

Sau khi màn trình diễn họ nghiệm trên phố tròn lượng giác

* Ta hợp các nghiệm bằng cách:

- tìm ra những điểm biện pháp đều nhau. Tìm khoảng cách giữa bọn chúng là β.

- cách làm biểu diễn các điểm đó là x=α+kβ k∈ℤvới αlà 1 cung bất cứ của 1 điểm trong những điểm đó.

* nhiều loại nghiệm:

- Ta vứt đi những điểm không khẳng định và tìm phương pháp biểu diễn các điểm còn lại như phần hợp nghiệm.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hợp những họ nghiệm sau:

a)x=kπx=π2+kπk∈ℤ

b)x=π6+kπx=2π3+kπk∈ℤ

c)x=kπ3x≠π+k2πk∈ℤ

Lời giải

a)x=kπx=π2+kπk∈ℤ

Bước 1: biểu diễn x=kπ =0+kπk∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn sót lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là điểm M2 trên hình vẽ.

Bước 2: biểu diễn x=π2+kπ k∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm N1 màn trình diễn cung π2.

- Điểm sót lại cách N1 một góc π(tức nửa mặt đường tròn lượng giác) là điểm N2 bên trên hình vẽ.

Bước 3: đúng theo nghiệm

Ta thấy 4 điểm cách đều nhau một gócπ2

Công thức biểu diễn 4 đặc điểm này là: x=0+kπ2 k∈ℤhay x=kπ2 k∈ℤ.

b)x=π6+kπx=2π3+kπk∈ℤ

Bước 1: trình diễn x=π6+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- khẳng định điểm M1 biểu diễn cung π6.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π(tức nửa đường tròn lượng giác) là vấn đề M2 trên hình vẽ.

Bước 2: biểu diễn x=2π3+kπ k∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác.

- xác minh điểm N1 màn biểu diễn cung 2π3.

- Điểm sót lại cách N1 một góc π(tức nửa mặt đường tròn lượng giác) là vấn đề N2 bên trên hình vẽ.

Bước 3: đúng theo nghiệm

Ta thấy 4 điểm biện pháp đều nhau một góc π2và chọn điểm ban đầu là π6.

Công thức màn trình diễn 4 đặc điểm này là: x=π6+kπ2 k∈ℤ.

c)x=kπ3x≠π+k2πk∈ℤ

Bước 1: màn trình diễn x=kπ3 =0+k2π6k∈ℤtrên mặt đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- xác minh điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn lại cách M1 một góc π3(hoặc phân tách đường tròn thành 6 phần, bước đầu chia từ điểm M1) là những điểm M2; M3; M4; M5; M6 bên trên hình vẽ.

Bước 2: màn trình diễn điểm x≠π+k2πk∈ℤtrên con đường tròn lượng giác.

- những điểm còn lại cách N đúng 2π(tức là một trong những vòng tròn lượng giác). Có nghĩa là chỉ có 1 điểm N màn trình diễn x≠π+k2πk∈ℤtrên mặt đường tròn.

Bước 3: các loại nghiệm

Ta thấy điểm M4 trùng với N. đề xuất ta chỉ nhận những điểm M1; M2; M3; M5; M6.

- Điểm M2; M5 biện pháp nhau một góc πvà lựa chọn điểm bước đầu là m2 có góc lượng giác là π3. Công thức trình diễn hai điểm M2; M5 là x=π3+kπk∈ℤ.

- Điểm M3; M6 biện pháp nhau một góc πvà lựa chọn điểm bước đầu là M6 bao gồm góc lượng giác là −π3. Công thức màn biểu diễn hai điểm M3; M6 là x=−π3+kπk∈ℤ.

- Điểm M1: công thức biểu diễn là x=0+k2πk∈ℤ.

Vậy các họ nghiệm thu sát hoạch được làx=±π3+kπ; x=2kπ;k∈ℤ

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin2x – 2sinx = 0

b) tan3x = tanx

Lời giải

a) Ta có: sin2x – 2sinx = 0

⇔2sinxcosx−2sinx=0⇔2sinxcosx−1=0⇔sinx=0cosx=1⇔x=kπx=k2πk∈ℤ

Ta phối kết hợp nghiệm:

Bước 1: biểu diễn x=kπ =0+kπk∈ℤtrên con đường tròn lượng giác.

- xác định điểm M1 biểu diễn cung 0.

- Điểm còn sót lại cách M1 một góc π(tức nửa con đường tròn lượng giác) là vấn đề M2 trên hình vẽ.

Bước 2: Biểu điễn x=k2πk∈ℤtrên con đường tròn lượng giác.

- xác định điểm N biểu diễn cung 0.

- những điểm còn lại cách N đúng 2π(tức là 1 trong vòng tròn lượng giác). Tức là chỉ có 1 điểm N trình diễn x=k2πk∈ℤtrên đường tròn.

Bước 3: phối hợp nghiệm

Ta thấy nhì họ nghiệm lồng nhau. Vậy chỉ cần lấy bọn họ nghiệm x=kπk∈ℤ.

Kết luận: họ nghiệm của phương trình là x=kπ;k∈ℤ.

b) tan3x = tanx

Điều khiếu nại xác định:

cos3x≠0cosx≠0⇔3x≠π2+kπx≠π2+kπ⇔x≠π6+kπ3x≠π2+kπk∈ℤ

Ta có: tan3x = tanx

⇔3x=x+kπ⇔2x=kπ⇔x=kπ2k∈ℤ

Kết hợp với điều kiện xác định như sau:

Bước 1: màn trình diễn x=kπ2 =k2π4k∈ℤtrên đường tròn lượng giác. (Có 4 điểm biểu diễn)

- xác định điểm M1 màn trình diễn cung 0.

- Điểm sót lại cách M1 một góc π2(hoặc phân chia đường tròn thành 4 phần, ban đầu chia từ điểm M1) là các điểm M2; M3; M4 trên hình vẽ.

Bước 2: trình diễn x≠π6 +kπ3k∈ℤtrên con đường tròn lượng giác. (Có 6 điểm biểu diễn)

- xác định điểm N1 màn trình diễn cung π6.

- Điểm còn sót lại cách N1 một góc π3(hoặc phân tách đường tròn thành 6 phần, bắt đầu chia từ bỏ điểm N1) là các điểm N2; N3; N4; N5; N6 trên hình vẽ.

Bước 3: Biểu điễn x≠π2+kπ k∈ℤtrên đường tròn lượng giác.

- xác minh điểm P1 biểu diễn cung π2.

- Điểm sót lại cách P1 một góc π(tức nửa con đường tròn lượng giác) là điểm P2 trên hình vẽ.

Bước 4: nhiều loại nghiệm

Nghiệm của phương trình là những điểm M. Những điểm không vừa lòng điều kiện khẳng định là các điểm N, P.

Xem thêm: Giải Bài 12 Sinh Học Lớp 9 Bài 12 : Cơ Chế Xác Định Giới Tính

Điểm M1; M3 biện pháp nhau một góc và chọn điểm ban đầu là M1 có góc lượng giác là 0. Công thức biểu diễn hai điểm M1; M3 là x=kπk∈ℤhay x=kπ;k∈ℤ.