Có thể các bạn chưa biết?Ta đã làm cho quen với những công thức lượng giác từ lịch trình Toán lớp 11, mặc dù nhiên có thể nhiều tín đồ trong chúng ta chưa biết cách minh chứng các công thức lượng giác đó như thế nào, chính vì như thế trong chủ đề này, họ sẽ kể tới một cách chứng minh các công thức lượng giác có áp dụng số phức, hay ví dụ hơn là bí quyết Euler.

Bạn đang xem: Chứng minh công thức euler

*

Nhà toán học Leonhard Euler

Ta gồm công thức rất lừng danh do bên toán học Euler tuyên bố như sau: $e^ivarphi = cos varphi + isin varphi $ (việc chứng tỏ công thức này sẽ tiến hành đề cập tới trong một bài viết khác).

Bây giờ áp dụng công thức này với những biểu thức lượng giác nhân đôi, nhân tía thì ta có:$e^i.(2a) = cos 2a + isin 2a.$$e^i(a + a) = (cos a + isin a)^2$ $ = cos ^2a – sin ^2a + 2icos asin a.$Đến đây đồng bộ hệ số hai vế ta đang thu được cách làm góc nhân song là:$cos 2a = cos ^2a – sin ^2a.$$sin 2a = 2sin a.cos a.$Với công thức nhân tía thì cũng tương tự, ta có:$e^i(3a) = cos 3a + isin 3a.$$e^i(3a) = left( e^a ight)^3$ $ = (cos a + isin a)^3$ $ = cos ^3a + 3icos ^2a – 3cos a.sin ^2a – isin ^3a.$Đến phía trên ta cũng đồng hóa hệ số như bên trên và áp dụng công thức lượng giác rất gần gũi $sin ^2x + cos ^2x = 1$ thì ta cũng nhận được hai cách làm nhân ba như ta đang biết.

Tiếp theo ứng dụng công thức Euler, ta có đổi khác sau:$e^i(a + b)$ $ = cos (a + b) + isin (a + b)$ $(1).$$e^ia.e^ib$ $ = .$$ = cos a.cos b – sin a.sin b$ $ + i(sin acos b + cos asin b)$ $(2).$Đồng nhất hệ số ở hai đẳng thức $(1)$ và $(2)$ ta nhận được hai cách làm lượng giác quen thuộc:$cos (a + b)$ $ = cos a.cos b – sin a.sin b.$$sin (a + b)$ $ = sin a.cos b + cos a.sin b.$

Tương từ cho công thức hiệu, ta có:$e^i(a – b)$ $ = cos (a – b) + isin (a – b).$$frace^iae^ib = fraccos a + isin acos b + isin b.$$ = frac(cos a + isin a)(cos b – isin b)cos ^2b + sin ^2b.$$ = cos acos b + sin asin b$ $ + i(sin acos b – cos asin b).$

Vậy câu hỏi đặt ra là với bí quyết biến tổng các thành tích thì ta đã làm như thế nào?Trước tiên ta có:$e^ia = cos a + isin a$ $(3).$$e^ib = cos b + isin b$ $(4).$Tiếp theo ta lại có:$e^ileft( fraca + b2 ight).e^ileft( fraca – b2 ight)$ $ = left( cos fraca + b2 + isin fraca + b2 ight)left( cos fraca – b2 + isin fraca – b2 ight).$$ = cos fraca + b2.cos fraca – b2$ $ – sin fraca + b2.sin fraca – b2$ $ + ileft( sin fraca + b2.cos fraca – b2 + cos fraca + b2.sin fraca – b2 ight).$ $(5).$$e^ileft( fraca + b2 ight).e^ileft( fracb – a2 ight)$ $ = left( cos fraca + b2 + isin fraca + b2 ight)left( cos fracb – a2 + isin fracb – a2 ight).$$ = cos fraca + b2.cos fraca – b2$ $ + sin fraca + b2.sin fraca – b2$ $ + ileft( sin fraca + b2.cos fraca – b2 – cos fraca + b2.sin fraca – b2 ight)$ $(6).$Bây giờ đem $(3)$ cùng (hoặc trừ) với $(4)$ và $(5)$ cộng (hoặc trừ) với $(6)$ ta có ngay các đẳng thức lượng giác quen thuộc. Từ bí quyết này ta suy ra bí quyết biến tích thành tổng.

Xem thêm: Os&Amp;E Là Gì - Os Definition & Meaning

Ngoài ra những công thức liên quan tới những hàm $ an x$ với $cot x$ ta cũng thực hiện các biến đổi đại số thuần túy và các công thức đã chứng minh ở trên nhằm suy ra nó. Các bạn có thể từ phương pháp Euler để suy ra các đẳng thức lượng giác khác đa dạng mẫu mã hơn.

Cuối cùng mình xin kết thúc bài viết này tại đây, nội dung bài viết sau sẽ đề cập cho tới cách chứng minh công thức Euler, mong các bạn đón đọc!