CHỨNG MINH LIM SINX X 1

Giả sử ta có một số trong những $b$ bị kẹp giữa hai số $a$ với $c$ như sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ với $c$ thuộc bằng một số trong những $ extL$ như thế nào đó, cũng chính vì $b$ bị kẹp thân $a$ và $c$ phải ta có thể suy ra được $b$ cũng bởi $ extL$, vấn đề này là hoàn toàn hợp tình thích hợp lý.

Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta tất yêu tính thẳng $b$ khi $x o 0$ được, ta buộc phải tìm ra hai số lượng giới hạn $a$ và $c$ để kẹp số lượng giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi kế tiếp đi tính $a$ và $c$, đó là ý tưởng phát minh của việc này, làm cố kỉnh nào nhằm tìm $a$ và $c$, ta đã phải nhờ vào tính chất của các góc lượng giác cùng cạnh trong con đường tròn 1-1 vị.

Đầu tiên mình sẽ đi kiếm mối quan hệ nam nữ giữa chúng trước, nhìn bởi mắt hay vào hình ngơi nghỉ trên, ta nhận thấy rằng đâu đó diện tích tam giác $ extOAC$ dường như như nhỏ dại hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$, và diện tích con đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại bé dại hơn diện tích tam giác xung quanh $ extOBC$, nghĩ thầm ta có thể áp dụng được định lý kẹp tại vị trí này, việc sót lại là cố gắng đưa nó về phương pháp góc lượng giác demo xem.

Gọi $ heta$ (thay núm cho $x$) là góc được chế tạo ra bởi nửa đường kính đường tròn $ extOA$ và $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà trong mặt đường tròn solo vị, độ dài phân phối kính luôn luôn bằng $1$, tức là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

Khi nói $ heta$ tiến tới $0$, tức là $ heta$ có thể tiến từ bỏ số dương (vùng I) về $0$, cũng hoàn toàn có thể tiến trường đoản cú số âm (vùng IV) về $0$, vậy để đảm bảo an toàn độ nhiều năm $ extAD$ luôn đúng, ta phải thêm dấu cực hiếm tuyệt đối,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ dài đoạn $ extAD$, ta có thể tính diện tích s tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = fracsin heta2$$

Tiếp theo, ta đề nghị tính diện tích s cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung tất cả đường màu vàng), ta hiểu được cả một hình tròn đơn vị sẽ có hệ số góc là $2 pi$ radian và có diện tích s là $1 pi$ radian, vậy một phần nhỏ của hình trụ (tức là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ tiến hành tính bằng cách lấy thông số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ chia cho cả hệ số góc của hình trụ sau đó nhân với diện tích của nó đúng không ạ nào.

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương từ bỏ với lí vì chưng như trên, ta rất cần phải thêm giá bán trị tuyệt vời nhất vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac2$$

Tiếp theo, tính diện tích s của tam giác $ extOBC$, ta nên tính độ lâu năm cạnh $BC$ với,

$$ an heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = an heta cdot extOC = an heta cdot 1 = an heta$$

Suy ra diện tích s tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot an heta = frac an heta2$$

Tương trường đoản cú với lí bởi vì như trên, ta cần được thêm giá trị tuyệt đối hoàn hảo vào $ an heta$,

$$S_ extOBC = frac an heta2$$

Dựa vào hình trên, ta hoàn toàn có thể đưa ra một bất đẳng thức xác minh rằng diện tích s tam giác $ extOAC$ luôn nhỏ tuổi hơn diện tích s đường cung $stackrelfrown extOAC$ và luôn nhỏ dại hơn diện tích s tam giác $ extOBC$, hay,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế các tác dụng tính diện tích vào, ta có,

$$frac2 leq frac heta2 leq frac2$$

Bây giờ đồng hồ làm núm nào nhằm biểu thức sống giữa biến $fracsin heta heta$ để áp dụng định lý kẹp thì quá tuyệt vời, chính là điều chúng ta mong muốn. Đầu tiên, nhân mỗi biểu thức vào bất đẳng thức mang lại $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$

Khai triển $| an heta|$, ta có,

$$|sin heta| leq | heta| leq fracsin heta$$

Tiếp tục phân chia mỗi biểu thức trong bất đẳng thức mang đến $|sin heta|$, ta được,

$$fracsin heta leq frac heta leq fracleft( frac ight)$$

Rút gọn một xíu,

$$1 leq frac leq frac1cos heta$$

Thực hiện đảo ngược tử số và chủng loại số của từng biểu thức vào bất đẳng thức, khi hòn đảo ngược, vết của bất đẳng thức sẽ chũm đổi,

$$1 geq frac geq |cos heta|$$

Bây tiếng xét dấu của giá trị tuyệt đối,

Đối với biểu thức $fracsin heta$, khi $ heta$ tiến trường đoản cú vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn là sẽ dương, khi $ heta$ tiến từ bỏ vùng âm (vùng IV) về $0$, kết quả sẽ bằng $frac-sin heta- heta$ chắc hẳn rằng cũng sẽ dương.

Xem thêm: Chuyên Đề Số Hoàn Chỉnh - Nó Có Phải Là Số Hoàn Thiện

Vậy, ta có thể bỏ vết giá trị tuyệt đối đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức trên chỉ đúng trong những miền giá trị từ $fracpi2$ mang lại $frac-pi2$, tức là trong vùng I cùng vùng IV của con đường tròn solo vị, cũng chính vì $ heta$ tiến tới $0$ cho nên nó chỉ ở trong 2 khoảng này, bọn họ không yêu cầu xét thêm nhị vùng còn sót lại kia.

Bây giờ, đã đến khi thêm số lượng giới hạn vào những biểu thức bé trong bất đẳng thức trên,

$$lim_ heta o 0 1 geq lim_ heta o 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta có,

Đã cho lúc thực hiện định lý số lượng giới hạn kẹp, chính vì $lim_ heta o 0 fracsin heta heta$ bị kẹp thân hai giới hạn $lim_ heta o 0 1$ và $lim_ heta o 0 cos heta$, mà bọn họ đã tính được kết quả ở 2 số lượng giới hạn kẹp cùng đều bởi $1$, vì thế giới hạn làm việc giữa chắc chắn là cũng sẽ bằng $1$,