Một số bài bác tính tích phân $displaystyle int_a^bf(x)dx$ cơ mà chưa cho biết thêm hàm $displaystyle f(x)$ nhưng chỉ cho thấy $displaystyle f(x)$ vừa lòng một hoặc vài ba ràng buộc thì ta có thể gọi nó là tích phân hàm ẩn. Đối với dạng toán này, trước hết ta khám nghiệm xem vấn đề có rơi vào dạng tích phân đặc biệt quan trọng (Mục tích phân sệt biệt) không. Nếu không, ta xem xét các dạng bên dưới đây.

Bạn đang xem: Công thức fx

Dạng 1: Phương trình vi phân đường tính cấp cho 1

$$ f"(x)+p(x).f(x)=q(x); (*) $$

Cách giải:

Gọi $displaystyle P(x)$ là một trong nguyên hàm của $displaystyle p(x)$, ta hoàn toàn có thể tìm ra $displaystyle f(x)$ như sau:

Nhân nhì vế của (*) cùng với $displaystyle e^P(x)$ ta được $displaystyle f"(x).e^P(x)+left(P(x) ight)".f(x).e^P(x)=q(x).e^P(x), (1)$

Chú ý vế trái (1) đó là đạo hàm của $displaystyle f(x).e^P(x)$ nên ta bao gồm $displaystyle left(f(x).e^P(x) ight)"=q(x).e^P(x)$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được $displaystyle f(x).e^P(x)=intq(x).e^P(x)+C$

Vậy $displaystyle f(x)=e^-P(x)left$.

Ví dụ 1.1: Trong tất cả những hàm số $displaystyle f(x)$ tiếp tục và có đạo hàm thường xuyên trên $displaystyle <0;1>$ thỏa mãn $displaystyle 3f(x)+xf"(x)ge x^2018$ với tất cả $displaystyle xin <0;1>$, tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của $displaystyle I=int_0^1f(x)dx$.

Hướng dẫn:

Với $displaystyle x>0$

Có $displaystyle 3f(x)+xf"(x)ge x^2018Leftrightarrow f"(x)+dfrac3xf(x)ge x^2017 (*)$.

Vậy $displaystyle p(x)=dfrac3xRightarrow e^P(x)=x^3$. Ta nhân 2 vế của (*) với $displaystyle x^3$ được

$3x^2f(x)+x^3f"(x)ge x^2020forall xin <0;1>$ (đúng cho $displaystyle x=0$).

$displaystyleRightarrow int_0^tleft(3x^2f(x)+x^3f"(x) ight)dxge int_0^tx^2020dx$, $displaystyle forall tin <0;1>$.

$Rightarrow x^3.f(x)Bigg|_0^tge dfracx^20212021Bigg|_0^t$, $displaystyle forall tin <0;1>$.

$Rightarrow t^3f(t)ge dfract^20212021$, $displaystyle forall tin <0;1>$ hay $displaystyle f(t)ge dfract^20182021$.

$Rightarrow int_0^1f(t)dtge int_0^1dfract^20182021=dfrac12019.2021$.

Đẳng thức rõ ràng xảy ra.

Dạng 2: Phương trình hàm

$$ a(x).f(u(x))+b(x).fleft(v(x) ight)=c(x); (**) $$

Cách giải:

Trong $displaystyle (**)$ đặt $displaystyle u(x)=v(t)Rightarrow v(x)=u(t)$ ta được $displaystyle a"(t).f(v(t))+b"(t).fleft(u(t)) ight)=c"(t)$.

Thay $displaystyle t$ vày $displaystyle x$ đề nghị ta bao gồm $displaystyle a"(x).f(v(x))+b"(x).fleft(u(x)) ight)=c"(x)$.

Giải hệ $displaystyle egincasesa(x).f(x)+b(x).fleft(u(x) ight)=c(x)\a"(x).f(v(x))+b"(x).fleft(u(x)) ight)=c"(x)endcases$ được $displaystyle f(u(x))$.

Ví dụ 2.1: mang lại hàm số $displaystyle f(x)$ liên tục trên $displaystyle mathbb R$ cùng $displaystyle f(x)+2fleft(dfrac1x ight)=3x, (*)$. Tính $displaystyle displaystyle I=int_frac12^2dfracf(x)xdx$.

Hướng dẫn:

Trong $displaystyle (*)$ cầm cố $displaystyle x$ vì chưng $displaystyle dfrac1x$ ta được $displaystyle displaystyle fleft(dfrac1x ight)+2f(x)=dfrac3x$

Giải hệ $displaystyle egincasesf(x)+2fleft(dfrac1x ight)=3x\fleft(dfrac1x ight)+2f(x)=dfrac3xendcases$ được $ displaystyle f(x)=dfrac2x-x $

Vậy $displaystyle I=int_frac12^2left(dfrac2x^2-1 ight)dx=dfrac32$.

Dạng 3: Phương trình hàm hàm hợp

Cho hàm số $displaystyle f(x)$ thỏa mãn $displaystyle f(u(x))=v(x)$, trong các số đó $displaystyle u(x)$ là hàm đối kháng điệu trên $displaystyle mathbb R$. Tính $displaystyle I=int_a^bf(x)dx.$

Cách giải:

Đặt $displaystyle t=u(x)Rightarrow dt=u"(x)dx$ và $displaystyle f(t)=v(x)$.

Với $displaystyle t=aRightarrow x=alpha$; $displaystyle t=bRightarrow x=eta$ (do tính đơn điệu bảo vệ nghiệm duy nhất).

Vậy $displaystyle f(t)dt=u"(x)v(x)dx$. Vì vậy $displaystyle displaystyle I=int_a^bf(t)dt=int_alpha^etau"(x)v(x)dx$.

Ví dụ 3.1: mang đến hàm số $displaystyle f(x)$ thường xuyên trên $displaystyle mathbb R$ thỏa mãn $displaystyle f(x^3+2x-2)=3x-1$. Tính $displaystyle I=int_1^10f(x)dx$

Hướng dẫn:

Đặt $displaystyle t=x^3+2x-2Rightarrow dt=(3x^2+2)dx$ với $displaystyle f(t)=3x-1$.

Với $displaystyle t=1Rightarrow x=1$, $displaystyle t=10Rightarrow x=2$.

Nhân vế với vế của những vì phân, rước tích phân

$$ I=int_1^10f(t)dt=int_1^2(3x^2+1)(3x-1)dx $$

Dễ dàng tính được $displaystyle I=dfrac1354$.

Dạng 4: Đổi sứ mệnh của trở nên $displaystyle x$ cùng $displaystyle y$

Cho hàm $displaystyle f(x)$ vừa lòng $displaystyle x=G(f(x))$, với $displaystyle G(t)$ là hàm đối chọi điệu trên $displaystyle mathbb R$.

Tính $displaystyle I=int_a^bf(x)dx$.

Cách giải

Đặt $displaystyle f(x)=yRightarrow x=G(y)Rightarrow dx=G"(y)dy$.

Với $displaystyle x=aRightarrow G(y)=aRightarrow y=alpha$, giống như $displaystyle x=bRightarrow x=eta$. Vậy $displaystyle I=int_alpha^etayG"(y)dy$.

Ví dụ 4.1: đến hàm số $displaystyle f(x)$ thường xuyên trên $displaystyle mathbb R$ thỏa mãn nhu cầu $displaystyle f^3(x)+f(x)=x,forall xinmathbb R$. Tính $displaystyle displaystyle I=int_0^2f(x)dx$.

Hướng dẫn:

Đặt $displaystyle y=f(x)Rightarrow y^3+y=xRightarrow dx=(3y^2+1)dy$.

Với $displaystyle x=0Rightarrow y^3+y=0Rightarrow y=0$, tương tự $displaystyle x=2Rightarrow y=1$.

Vậy $displaystyle I=int_0^2f(x)dx=int_0^1y(3y^2+1)dy=dfrac54$.

Dạng 5: Bất đẳng thức tích phân

$$left(int_a^bf(x).g(x)dx ight)^2le left(int_a^bf^2(x)dx ight). left(int_a^bg^2(x)dx ight)$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $displaystyle f(x)=k.g(x)$ với $displaystyle kinmathbb R$.

Ví dụ 5.1: mang đến $displaystyle f(x)$ tiếp tục trên $displaystyle <0;1>$ thỏa $displaystyle int_0^1f^2(x)dx=dfrac167$ cùng $displaystyle int_0^1x^3f(x)dx=dfrac47$. Tính $displaystyle int_a^bf(x)dx$.

Hướng dẫn:

Có $displaystyle dfrac1649=left(int_0^1x^3f(x)dx ight)^2le left(int_0^1x^6dx ight). left(int_0^1f^2(x)dx ight)=dfrac17.dfrac167=dfrac1649$

Vậy đẳng thức xẩy ra nên $displaystyle f(x)=kx^3$. Cố trở lại một trong những hai tích phân ban sơ được $displaystyle k=4.$

Vậy $displaystyle I=int_0^14x^3dx=1$.

Ví dụ 5.2: đến hàm $displaystyle f(x)$ có đạo hàm thường xuyên trên đoạn $displaystyle <0;1>$ thỏa mãn $displaystyle f(0)=0$, $displaystyle f(1)=1$. Biết $displaystyle int_0^1sqrtx^2+1^2dx=dfrac1ln(1+sqrt2)$. Tính $displaystyle I=int_0^1dfracf(x)sqrt1+x^2dx$.

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta tất cả $displaystyle int_0^1f’(x)dx=f(x)Bigg|_0^1=1$ hay

$$int_0^1sqrt<4>1+x^2dfracf’(x)sqrt<4>1+x^2dx=1 $$

Áp dụng bất đẳng thức trên cho hai hàm $displaystyle sqrt<4>1+x^2.f’(x)$ với $displaystyle dfrac1sqrt<4>1+x^2$ ta có

$$1=int_0^1sqrt<4>1+x^2dfracf’(x)sqrt<4>1+x^2dx le left(int_0^1sqrtx^2+1^2dx ight).left(int_0^1dfrac1sqrt1+x^2dx ight) $$

Mà $displaystyle int_0^1dfrac1sqrt1+x^2dx =ln(1+sqrt2)$.

Xem thêm: Đáp Án Đề Thi Đại Học Môn Toán Khối D Năm 2013 ❣️✔️, Đề Thi Và Đáp Án Môn Toán Khối A Năm 2013

Do kia đẳng thức xẩy ra nên $displaystyle f’(x)=kdfrac1sqrt1+x^2Rightarrow f(x)=kln(x+sqrt1+x^2)+C$.

Do $displaystyle f(0)=0$ với $displaystyle f(1)=1$ cần $displaystyle C=0$ và $displaystyle k=dfrac1ln (1+sqrt2).$

Thay vào $displaystyle I$ ta được $$displaystyle I=int_0^1dfracln(x+sqrt1+x^2)ln (1+sqrt2)sqrt1+x^2=dfrac12ln(1+sqrt2).$$