Số phức và các dạng toán về số phức là một trong những nội dung mà nhiều bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng và khá khó hiểu, một trong những phần nguyên nhân là chúng ta đã thừa quen với số thực trong số những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Công thức số phức nâng cao


Vì vậy, ở nội dung bài viết này slovenija-expo2000.com sẽ hệ thống lại những dạng toán về số phức mặt khác hướng dẫn giải pháp giải các dạng bài xích tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài bác tập số phức, chúng ta cũng bắt buộc nhớ những nội dung về kim chỉ nan số phức.

I. định hướng về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập phù hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bởi 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
*

2. Biểu diễn hình học của số phức

- Số phức: , (được trình diễn bởi điểm M(a,b) tuyệt bởi 

*
 trong phương diện phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- cho 2 số phức: , khi đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- cho 2 số phức: , khi đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân tách số phức không giống 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang lại số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 gồm đúng một căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- cho phương trình bậc 2 số phức bao gồm dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là những số phức cho trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) tất cả 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là một nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân chia số phức dưới dạng lượng giác

- đến z = r(cosφ + isinφ) cùng z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• đến z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Các dạng toán về Số phức và phương pháp giải

Dạng 1: những phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng các công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và đặc điểm phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi giám sát và đo lường các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng xuất xắc hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang lại số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng trước tiên của 1 cung cấp số nhân cùng với số hạng trước tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả đk cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, những phép đổi khác để giải quyết bài toán.

° lấy ví dụ 1: tra cứu số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức cần tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, với z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác minh phần thực phần ảo, tra cứu đối số, nghịch hòn đảo module, liên hợp của số phức và màn trình diễn hình học tập của số phức

* cách thức giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài xích toán tương quan tới tính chất của số phức.

♦ nhiều loại 1: search phần thực phần ảo của số phức

- bí quyết giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức vẫn cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức sẽ cho gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức đang cho gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ các loại 2: trình diễn hình học tập của số phức

- biện pháp giải: áp dụng điểm M(a;b) trình diễn số phức z xung quanh phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong phương diện phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn biểu diễn bởi điểm nào trong những điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có trình diễn hình học tập là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là trình diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ nhiều loại 3: Tính Module của số phức

- cách giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: search mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- tất cả

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z vừa lòng

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ nhiều loại 4: tra cứu số đối của số phức

- giải pháp giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ nhiều loại 5: tra cứu số phức phối hợp của số phức z

- phương pháp giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- lúc đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ loại 6: tìm kiếm số phức nghịch đảo của số phức

- cách giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bởi nhau.

- giải pháp giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x cùng y làm thế nào cho z = x + yi vừa lòng z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* cách thức giải:

♦ nhiều loại 1: Số phức z ưng ý về độ nhiều năm (module) khi đó ta thực hiện công thức 

♦ nhiều loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc ấy ta áp dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập đúng theo điểm M trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài bác ra,

 

*

- với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hòa hợp điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) điện thoại tư vấn N là vấn đề biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song cùng với Ox, sẽ là đường thẳng y = -3.

c) gọi I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- lúc đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là đường tròn trung ương I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh những biểu thức về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Bệnh minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, tự (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- trường đoản cú (1) cùng (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* phương thức giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z giả dụ w2 = z tuyệt (x + yi)2 = a + bi.

- lưu lại ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta bao gồm 2 trường hợp đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, giỏi x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình tất cả dạng: az2 + bz + c = 0, trong các số ấy a, b, c là các số phức a≠0

- phương pháp giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình có nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: hotline z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên tất cả 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- hotline m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài bác toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta tất cả hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đã cho gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương pháp giải: Đặt ẩn phụ và mang đến phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- nhấn thấy, z=0 chưa hẳn nghiệm của phương trình đề xuất chia 2 vế cho z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) phân biệt z=0 không hẳn là nghiệm của phương trình bắt buộc chia 2 vế pt cho z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc ấy pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức gốc rễ cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, cách làm Euler.

- công thức 1: 

*

- công thức 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z ký kết hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ vượt ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ kia hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý giá của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình vẫn cho tất cả 2 nghiệm: 

*

- khía cạnh khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- vị z=-1 không hẳn là nghiệm của phương trình đề xuất nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* cách thức giải: Vận dụng kỹ năng tìm cực trị

° ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z bao gồm modul nhỏ tuổi nhất.

Xem thêm: Hà Lạc Lý Số: Quẻ Thuần Tốn Giải Đoán, Quẻ 57: Thuần Tốn

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Bởi vậy các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn câu hỏi nằm trên phố tròn trung tâm I(4;-3) nửa đường kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ tuổi nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi ấy M là giao điểm của (C) và mặt đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn và 

*