Bài viết này slovenija-expo2000.com tổng vừa lòng và trình làng lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trong những trường hợp đặc trưng hay gặp
https://www.slovenija-expo2000.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12
Đồng thời trình bày công thức tổng thể tính thể tích mang đến khối tứ diện bất kỳ khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em xử lý nhanh một trong những dạng bài khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT tổ quốc 2019 - Môn Toán.
Bạn đang xem: Công thức tính thể tích tứ diện trong oxyz
Bài viết này trích lược một số công thức cấp tốc hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Những công thức cấp tốc khác tương quan đến thể tích khối tứ diện với thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá combo X do slovenija-expo2000.com kiến tạo tại đây:https://www.slovenija-expo2000.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9
Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau:
Công thức 1: Khối tứ diện đều
Khối tứ diện đều cạnh $a,$ ta có $V=dfraca^3sqrt212.$
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều sở hữu chiều cao bằng
A.
B.
C.
D.
Giải.Thể tích tứ diện phần lớn cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$
Chiều cao tứ diện đông đảo là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$
Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn lời giải B.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)
Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta bao gồm $V=dfrac16abc.$
Công thức 3: Khối tứ diện gần phần đông (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)
Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có
Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã đến bằng
A. $fracsqrt303.$ | B. $frac20sqrt113.$ | C. $sqrt30.$ | D. $20sqrt11.$ |
Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ hotline $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng phương pháp từ điểm $A$ cho mặt phẳng $(CMD)$bằng
A. $fracsqrt312.$ | B. $fracsqrt552.$ | C. $fracsqrt212.$ | D. $fracsqrt332.$ |
Giải. Ta tất cả $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$
Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ và theo phương pháp đường trung tuyến ta có:
$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$
và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$
Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn câu trả lời B.
Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ hoàn toàn có thể tích bằng
A. $sqrt95a^3.$
B. $8sqrt95a^3.$
C. $2sqrt95a^3.$
D. $4sqrt95a^3.$
Giải.Áp dụng bí quyết tính thể tích khối tứ diện gần các có
$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$
Chọn đáp án C.
Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối lập của tứ diện
Tứ diện $ABCD$ gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng| A. $frac2sqrt3.$ | B. $frac1sqrt3.$ | C. $frac1sqrt2.$ | D. $frac13.$ |
Ví dụ 2:Cho nhì mặt mong $(S_1),(S_2)$ tất cả cùng trung ương $I$ và bán kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ vị trí $(S_1);$ nhị đỉnh $C,D$ nằm trên $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $3sqrt2.$
B. $2sqrt3.$
C. $6sqrt3.$
D. $6sqrt2.$
Giải.Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ trung khu $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$
Ta bao gồm $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ với $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ với $sin (AB,CD)le 1.$
Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng chừng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:
$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $
Dấu bởi đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 3:Cho một hình trụ tất cả thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a.$ hiểu được $AB$ cùng $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy cùng góc giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ cùng $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$
A. $fraca^312.$ | B. $fraca^3sqrt36.$ | C. $fraca^36.$ | D. $fraca^3sqrt312.$ |
Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn lời giải C.
Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai khía cạnh kề nhau
Ví dụ 1: mang đến khối chóp $S.ABC$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai phương diện phẳng $(SAB)$ cùng $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang đến bằng
A. $a^3.$
B. $fraca^33.$
C. $fraca^32.$
D. $fraca^36.$
Lời giải đưa ra tiết. call $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta có $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.
Mặt khác $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn lời giải D.
Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $fraca^33.$
B. $a^3.$
C. $frac2a^33.$
D. $3a^3.$
Lời giải đưa ra tiết. call $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$
Ta bao gồm $left{ egingathered CB ot ba hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự như $left{ egingathered CD ot da hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$
Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$
Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$
Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$
Kết hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn lời giải B.
Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ bên cạnh $SA$ vuông góc cùng với đáy và góc thân hai khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bởi $60^0,$ lúc ấy $SA$ bằng
A. $dfracsqrt6a4.$ | B. $sqrt6a.$ | C. $dfracsqrt6a2.$ | D. $dfracsqrt3a2.$ |
Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$
Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$
Trong đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$
Từ (1) và (2) suy ra
Ví dụ 4: đến tứ diện $ABCD$ gồm $ABC$ cùng $ABD$ là tam giác phần đông cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng
A. $dfraca^38.$ | B. $dfraca^3sqrt212.$ | C. $dfraca^3sqrt38.$ | D. $dfraca^3sqrt312.$ |
Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$
Dấu bởi đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn câu trả lời A.
Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích s mặt mặt và khía cạnh đáy
Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ gồm $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$
Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh
Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$
Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$
Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ hoàn toàn có thể tích bằng
A. $20.$
B. $5.$
C. $15.$
D. $10.$
Giải.
Xem thêm: Bài Hát Thuyền Ra Khơi Thuyền Tìm Ra Biển Lớn, Hợp Âm Tình Anh
Tứ diện này còn có độ dài toàn bộ các cạnh ta tính các góc trên một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc bắt nguồn từ cùng 1 đỉnh:
Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$
Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$
Chọn câu trả lời B.
