I. LÝ THUYẾTChỉnh hợp:Cho tập thích hợp $A$ có $n$ phần tử; $n$$ geqslant $1. Một chỉnh thích hợp chập $k$ cácphần tử của $A$ là một trong cách bố trí $k$ thành phần khác nhau của $A$; $1 leqslantk leqslant n;,,k in mathbbN$.Số những chỉnh hòa hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $A_n^k = fracn!(n - k)!$Hoán vị:Cho tập vừa lòng $A$ bao gồm $n$ phần tử; $n > 0$. Một thiến $n$ thành phần của $A$ làmột chỉnh hòa hợp chập $n$ các phần tử của $A$ (Hay một cách sắp xếp thứ tự các $n$phần tử của $A$).Số những hoán vị $n$ thành phần của $A$: $P_n = A_n^n = n!$Tổ hợp:Cho tập đúng theo $A$ có $n$ phần tử; $n > 0$. Một đội nhóm hợp chập $k$ các thành phần của$A$ là 1 trong những tập hợp bé của $A$ có $k$ phần tử ; $0 leqslant k leqslantn;,,k in mathbbN$.Số những tổ đúng theo chập $k$ của $n$ phần tử: $C_n^k = fracn!k!.(n - k)!$
Cáccông thức đặc biệt quan trọng của $P_n, C_n^k, A_n^k$• $C_n^k = fracA_n^kP_k$• $C_n^k = C_n^n - k$• $C_n^k = C_n - 1^k + C_n - 1^k - 1$• $k.C_n^k = n.C_n - 1^k - 1quad (1 leqslant kleqslant n;k in mathbbN;n in N;n >1)$ • $k.(k - 1).C_n^k = n.(n - 1).C_n - 2^k - 2;quadforall k;n in mathbbN;2 leqslant k leqslant n$ • $k.(k - 1)(k - 2).C_n^k = n.(n - 1)(n - 2).C_n - 3^k -3;quad forall k;n in mathbbN;3 leqslant k leqslant n$ • $frac1k + 1.C_n^k = frac1n + 1.C_n + 1^k +1quad (forall k in mathbbN;0 leqslant k leqslant n;n inmathbbN^*$ Nhị thức Newton$(a + b)^n = C_n^0.a^n + C_n^1.a^n - 1.b + C_n^2.a^n - 2.b^2 +... $$+ C_n^k.a^n - k.b^k + ... + C_n^n.b^n$$ = sumlimits_k = 0^nC_n^k.a^n - k.b^k $$(forall n in mathbbN^*)$
Tacũng có thể khai triển: $(a + b)^n = C_n^0.b^n + C_n^1.b^n - 1.a + C_n^2.b^n - 2.a^2 +... $$+ C_n^k.b^n - k.a^k + ... + C_n^n.a^n$$ = sumlimits_k = 0^nC_n^k.a^k.b^n - k $ $(forall n in mathbbN^*)$Một số đẳng thức rút ra từ nhị thức Newton:$C_n^0 + C_n^1 + ..... + C_n^k + ..... + C_n^n = 2^nquad forall n inmathbbN^*$$C_n^0 - C_n^1 + ..... + ( - 1)^k.C_n^k + ..... + ( - 1)^n.C_n^n = quadforall n in mathbbN^*$$(1 + x)^2n = sumlimits_k = 0^2n x^k.C_2n^k$; $(1 - x)^2n = sumlimits_k = 0^2n ( -1)^kx^k.C_2n^k $$(1 + x)^2n + 1 = sumlimits_k = 0^2n x^k.C_2n + 1^k $; $(1 -x)^2n + 1 = sumlimits_k = 0^2n ( - 1)^kx^k.C_2n + 1^k $II. BÀI TẬPPhương pháp:1. Quan gần cạnh biểu thức cần tính để lấy ra nhị thức Newton ưng ý hợp.2. Áp dụng các đổi khác tổ hợp, chỉnh vừa lòng quen thuộc3. Xác minh công thức tổng thể và triệu chứng minh4. Sử dụng công gắng đạo hàm hoặc tích phânBài 1: Rút gọn: $operatornameS _k = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... +( - 1)^kC_n^k;quad 0 leqslant k leqslant n;,,,,k in mathbbN;n inmathbbN^*$Hướng dẫn:Nếu $k$operatornameS _k = C_n^0 - (C_n - 1^0 + C_n - 1^1) + (C_n - 1^1 +C_n - 1^2) - (C_n - 1^2 + C_n - 1^3) + ... $$+ ( - 1)^k(C_n - 1^k - 1 + C_n - 1^k);0 leqslant k leqslant n;,,,,kin mathbbN;n in mathbbN^*$Rút gọn gàng suy ra: $S_k = ( - 1)^k.C_n - 1^k$Nếu $k = n$ thì $operatornameS _k = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... +( - 1)^nC_n^n = 0$Bài 2: Tính S = $C_4n^1 + C_4n^3 + C_4n^4 + .... + C_4n^2n - 1$Hướng dẫn:Áp dụng bí quyết $C_n^k = C_n^n - k$ ta có: $C_4n^1 = C_4n^4n - 1;C_4n^3 = C_4n^4n - 3;....;C_4n^2n - 1 =C_4n^2n + 1$Vì vậy $S =$ $C_4n^4n - 1 + C_4n^4n - 3 + .... + C_4n^2n + 1$Suy ra $2S = $$C_4n^1 + C_4n^3 + C_4n^4 + .... + C_4n^2n - 1 + C_4n^2n +1 + ..... + C_4n^4n - 1 = 2^4n - C_4n^0 - C_4n^4n$$ Rightarrow S = 2^4n - 2$Bài 3: Tính các tổng sau:a. $S_2 = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n;quad n inmathbbN;n > 1$ b. $S_3 = C_n^2 + 2C_n^3 + 3C_n^4 + ... + (n - 1)C_n^n;quad n inmathbbN^*;n geqslant 2$ c. $S_4 = n.2^n - 1.C_n^0 + (n - 1).2^n - 2.3.C_n^1 + (n - 2).2^n -3.3^2.C_n^2 + ... + 3^n - 1.C_n^n - 1;quad n in mathbbN;n >1$d. $S_5 = 4.5^3.C_2009^0 + 5.5^4.C_2009^1 + ... +2013.5^2012.C_2009^2009$Hướng dẫn:a. $S_2 = C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n;quad n inmathbbN^*$ $ Rightarrow S_2 = sumlimits_k = 0^n (k + 1).C_n^k = ;0.C_n^0 +sumlimits_k = 1^n k.C_n^k + sumlimits_k = 0^n C_n^k $$ Rightarrow S_2 = sumlimits_k^n n.C_n - 1^k - 1 +sumlimits_k = 0^n C_n^k $$eginarray Rightarrow S_2 = n.2^n - 1 + 2^n \ Rightarrow S_2 = (n + 2).2^n - 1;quad forall n inmathbbN;n > 1 \ endarray $b. $S_3 = C_n^2 + 2C_n^3 + 3C_n^4 + ... + (n - 1)C_n^n;quad n inmathbbN^*;n geqslant 2$$ Rightarrow S_3 = sumlimits_k = 2^n (k - 1).C_n^k = ;sumlimits_k= 2^n k.C_n^k - sumlimits_k = 2^n C_n^k $$ Rightarrow S_3 = ;sumlimits_k = 1^n k.C_n^k - C_n^1 -sumlimits_k = 0^n C_n^k + C_n^0 + C_n^1$$ Rightarrow S_3 = sumlimits_k = 1^n n.C_n - 1^k - 1 - C_n^1- sumlimits_k = 0^n C_n^k + C_n^0 + C_n^1$$eginarray Rightarrow S_3 = n.2^n - 1 - 2^n + 1 \ Rightarrow S_3 = (n - 2).2^n - 1 + 1;quad forall n inmathbbN;n geqslant 2 \ endarray $c. $S_4 = n.2^n - 1.C_n^0 + (n - 1).2^n - 2.3.C_n^1 + (n - 2).2^n -3.3^2.C_n^2 + ... + 3^n - 1.C_n^n - 1;quad n in mathbbN^*$$ Rightarrow S_4 = sumlimits_k = 0^n - 1 (n - k).2^n - k -1.3^k.C_n^k = ;sumlimits_k = 0^n - 1 2^n - k - 1.3^k.(n- k).C_n^n - k $$ Rightarrow S_4 = sumlimits_k = 0^n - 1 2^n - k -1.3^k.n.C_n - 1^n - k - 1 $$eginarray Rightarrow S_4 = n(2^n - 1.3^0.C_n - 1^n - 1 + 2^n- 2.3^2.C_n - 1^n - 2 + ... + 2^0.3^n - 1.C_n - 1^0) \ Rightarrow S_4 = n.(2 + 3)^n - 1 \ Rightarrow S_4 = n.5^n - 1;quad forall n in mathbbN;n> 1 \ endarray $d. $S_5 = 4.5^3.C_2009^0 + 5.5^4.C_2009^1 + ... + 2013.5^2012.C_2009^2009$$eginarray Rightarrow S_5 = sumlimits_k = 0^2009 (k + 4).5^k +3.C_2009^k = sumlimits_k = 0^2009 k.5^k +3.C_2009^k + sumlimits_k = 0^2009 4.5^k +3.C_2009^k \ Rightarrow S_5 = sumlimits_k = 0^2009 5^k +3.k.C_2009^k + sumlimits_k = 0^2009 4.5^k +3.C_2009^k \ Rightarrow S_5 = 5^0 + 3.0.C_2009^0 + sumlimits_k =1^2009 5^4.5^k - 1.2009.C_2008^k - 1 + sumlimits_k =0^2009 4.5^3.5^k.C_2009^k \ Rightarrow S_5 = 2009.5^4.(5^0C_2008^0 + 5^1C_2008^1+ ... + 5^2008C_2008^2008) + \ quad quad quad quad + 4.5^3.(5^0C_2009^0 +5^1C_2009^1 + ... + 5^2009C_2009^2009) \ Rightarrow S_5 = 2009.5^4.6^2008 +4.5^3.6^2009 \ Rightarrow S_5 = 10069.5^3.6^2008 \ endarray $Bài 4: Tính $S = C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + ( - 1)^n.(n + 1)C_n^n;quad n inmathbbN$Hướng dẫn:Ta thực hiện công nạm đạo hàm:Xét nhiều thức $f(x) = x(1+x)^n =$ $C_n^0x + C_n^1x^2 + C_n^2x^3 + ... +C_n^nx^n + 1;quad n in mathbbN^*$ $D=R$Ta có $f^"(x) = $$C_n^0 + C_n^1.2x + C_n^23x^2 + ... + C_n^n.(n + 1)x^n =(1 + x)^n + nx(1 + x)^n - 1$$ Rightarrow f^"( - 1) = $$C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + ( - 1)^n.(n +1)C_n^n = f^"( - 1) = 0$Lưuý: Để tính những tổng $S_1 = C_n^0 + 2aC_n^1 + 3a^2C_n^2 + ... + (n + 1)a^nC_n^n;quad $$S_2 = C_2n^0 + 3a^2C_2n^2 + 5a^4C_2n^4 + ... + (2n +1)a^2nC_2n^2n;quad $Ta xét đa thức $f(x) = x(1+x)^n$ và minh chứng rằng $S_1=f’(a)$; Ta xét nhiều thức $g(x) = x(1+x)^2n$ và chứng minh rằng $2S_2=g’(a)+g’(-a);2S3=g’(a)-g’(-a)$Bài 5:Tính $S = 1^2C_n^1 + 2^2C_n^2 + 3^2C_n^3 + ... + n^2C_n^n$.Hướng dẫn:Ta áp dụng công chũm đạo hàm:$left( 1 + x ight)^n = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2x^2 + ... + C_n^nx^n$Đạo hàm 2 vế ta được$nleft( 1 + x ight)^n - 1 = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.nx^n -1$Nhân 2 vế với x$nxleft( 1 + x ight)^n - 1 = C_n^1x + C_n^2.2x^2 + ... +C_n^n.nx^n$Đạo hàm 2 vế đợt nữa ta được$n(1 + x)^n - 1 + n(n - 1)x(1 + x)^n - 2 = C_n^1 + C_n^22^2x + ... +C_n^nn^2x^n - 1$Thế $x = 1$ ta được$n.2^n - 1 + n(n - 1)2^n - 2 = S$Hay $S = n(n + 1)2^n - 2$Bài 6:Tính $S_1 = C_n^0 + frac12.C_n^1 + frac13.C_n^2 + ... +frac1n + 1.C_n^nquad ;n in mathbbN^*$Hướng dẫn:Ta áp dụng công cố tích phân:Xét đa thức $f(x) = $$(1 + x)^n = C_n^0 + x.C_n^1 + x^2.C_n^2 + ... +x^n.C_n^nquad forall x in mathbbR;n in mathbbN^*$Suy ra: $intlimits_0^1 f(x)dx = $$C_n^0 + frac12.C_n^1 +frac13.C_n^2 + ... + frac1n + 1.C_n^n = S_1 $$Rightarrow S_1 = frac(1 + x)^n + 1n + 1left|eginarray*20c 1 \ 0 endarray = frac2^n + 1 - 1n + 1 ight.$Lưuý: Để tính các tổng $S = (b - a)C_n^0 + fracb^2 - a^22.C_n^1 + fracb^3 - a^33.C_n^2+ ... + fracb^n + 1 - a^n + 1n + 1.C_n^nquad ;n inmathbbN^*$Hãy chứng tỏ rằng $S = $$intlimits_a^b f(x)dx ;,,f(x) = (1 + x)^n$Bài 7:$S = frac12C_n^0 - frac13C_n^1 + frac14C_n^2 - ... + ( - 1)^nfrac1n+ 2C_n^n$Hướng dẫn:$intlimits_0^1 x(1 - x)^ndx = intlimits_0^1 left< C_o^nx -C_n^1x^2 + C_n^2x^3 - ... + C_n^nx^n + 1 ight> dx$Tính $intlimits_0^1 x(1 - x)^ndx $. Đặt $u = 1 - x Rightarrow du= - dx$, $left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow u = 1 \ x = 1 Rightarrow u = 0 endarray ight.$.$intlimits_0^1 x(1 - x)^ndx = intlimits_0^1 _0^1 - left. fracu^n +2n + 2 ight|_0^1$$= frac1n + 1 - frac1n + 2 = frac1(n + 1)(n + 2)$$eginarray intlimits_0^1 left< C_n^0x - C_n^1x^2 + C_n^2x^3 - ... + ( -1)^nC_n^nx^n + 1 ight> dx \ = left. left< C_n^0fracx^22 - C_n^1fracx^33+ C_n^2fracx^44 - ... + ( - 1)^nC_n^nfracx^n + 2n +2 ight> ight|_0^1 \ = frac12C_n^0 - frac13C_n^1 + frac14C_n^2 - ... +( - 1)^nfrac1n + 2C_n^n \ = S \ endarray $Vậy $S = frac1(n + 1)(n + 2)$Các phương thức đạo hàm cùng tích phân trong tổng hợp sẽ được trình bày cụ thể ởcác siêng đề:
- Sử dụngcông ráng đạo hàm vào giải toán tổ hợp
- Sử dụngcông nỗ lực tích phân vào giải toán tổ hợpBÀI TẬP TỰ GIẢI:Bài 1:Tính tổnga. $S_1 = 1.2^0.C_n^1 + 2.2^1.C_n^2 + 3.2^2.C_n^3 + ..... + n.2^n -1.C_n^nquad forall n in mathbbN;n > 1$b. $S_2 = 2.C_2n + 1^2 + 4.C_2n + 1^4 + ..... + 2n.C_2n + 1^2n$c. $S_3 = 2.C_2n^2 + 4.C_2n^4 + ..... + 2n.C_2n^2n$Bài 2: mang đến $a > 0; $$n in mathbbN^*$. Hãy tính tổnga. $S_1 = 1.2.C_n + 1^1 + 3.4.a^2.C_n + 1^2 + ..... + (2n + 1)(2n +2).a^2n.C_n + 1^n + 1$b. $S_2 = C_n^0 + 2a.C_n^1 + 3a^2.C_n^2 + ..... + (n + 1)a^n.C_n^n$c. $S_3 = C_2n^0 + 3a^2.C_2n^2 + 5a^4.C_2n^4 + ..... + (2n +1)a^2n.C_2n^2n$d. $S_4 = 2a.C_2n^1 + 4a^3.C_2n^3 + 6a^5.C_2n^5 + ..... + 2n.a^2n- 1.C_2n^2n - 1$Bài 3:Tính $S = frac13C_n^0 + frac14C_n^1 + frac15C_n^2 + ... +frac1n + 3C_n^n$Bài 4:Tính tổng $S = frac1n + 1C_n^0 - frac1nC_n^1 + frac1n -1C_n^2 - ... + left( - 1
ight)^nC_n^n$Bài 5:Tính $S = 2012.3^2011C_2012^0 - 2011.3^2010C_2012^1 +2010.3^2009C_2012^2 - ... + 2.3C_2012^2010 - C_2012^2011$Bài 6: Tính tổnga. $S_1 = C_n^0 + frac12.C_n^1 + frac13.C_n^2 + ... + frac1n +1.C_n^nquad ;n in mathbbN^*$b. $S_2 = frac2^22.C_n^1 + frac2^33.C_n^2 +frac2^44.C_n^3 + ... + frac2^n + 1n + 1.C_n^nquad (n inmathbbN;n > 1)$c. $S_3 = frac12.C_2n^1 + frac14.C_2n^3 + frac16.C_2n^5+ ... + frac12n.C_2n^2n - 1quad (n in mathbbN;n > 1)$d. $S_4 = 2.C_n^0 + frac3^2 - 12.C_n^1 + frac3^3 - 13.C_n^2+ frac3^4 - 14.C_n^3 + ... + frac3^n + 1 - 1n +1.C_n^nquad (n in mathbbN^*)$e. $S_5 = 2^0C_n^0 - frac2^22.C_n^1 + frac2^33.C_n^2 -frac2^44.C_n^3 + ... + ( - 1)^nfrac2^n + 1n +1.C_n^nquad (n in mathbbN^*)$f.
Bạn đang xem: Công thức tổ hợp chỉnh hợp lặp và không lặp cực chi tiết
Xem thêm: Sau Khi Thụ Phấn Đến Lúc Thụ Tinh Có Những Hiện Tượng Nào Xảy Ra
$S_6 = fracb - a1C_n^0 + fracb^2 - a^22.C_n^1 +fracb^3 - a^33.C_n^2 + ... + fracb^n + 1 - a^n + 1n +1.C_n^nquad (n in mathbbN^*;a;b in mathbbR)$