Hàm số luỹ vượt là hàm số gồm dạng(y=x^alpha), vào đó(alpha)là một hằng số tuỳ ý.Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:
- Hàm số(y=x^n)với n nguyên dương, xác định với mọi(x in mathbbR).
Bạn đang xem: Đạo hàm hàm số lũy thừa
- Hàm số (y=x^n), với n nguyên âm hoặc n = 0,xác định cùng với mọi(x in mathbbRackslash left 0 ight\).
- Hàm số(y=x^alpha), cùng với (alpha)không nguyên, bao gồm tập khẳng định là tập hợp các số thực dương(left( 0; + infty ight))
Người ta chứng tỏ được rằng hàm số lũy thừa thường xuyên trên tập khẳng định của nó.
Chú ý:
Theo định nghĩa, đẳng thức(sqrt
2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa
a) Định lý
- Hàm số luỹ quá (y = x^alpha (alpha in mathbbR))có đạo hàm tại rất nhiều điểm (x>0)và(left( x^alpha ight)" = alpha x^alpha - 1).
- nếu như hàm số(u=u(x))nhận giá trị dương và tất cả đạo hàm bên trên (J)thì hàm số (y = u^alpha (x).)cũng bao gồm đạo hàm trên (J)và(left( u^alpha left( x ight) ight)" = alpha .u^alpha - 1(x).u"(x)).
b) Chú ý:- Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây:(left( sqrt
- giả dụ (u=u(x))là hàm số có đạo hàm bên trên (J)và thoả nguyện điều kiện(u(x)>0)với đều (x in J)khi n chẵn,(u(x) e0)với mọi(x in J)khi n lẻ thì:
(left( sqrt
Nhận xét: Do(1^alpha =1)với mọi(alpha)nên thiết bị thị của rất nhiều hàm số lũy thừa đều trải qua điểm(1;1).
3. Khảo sát hàm số lũy thừa(y=x^alpha)
- Tập khẳng định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng(left( 0; + infty ight))với mọi(alpha in mathbbR).
- vào trường hợp tổng thể ta điều tra hàm số(y=x^alpha)trên khoảng này, ta được bảng bắt tắt sau:
- bề ngoài của đồ gia dụng thị hàm số lũy thừa trong những trường thích hợp xét bên trên tập(left( 0; + infty ight)):
Chú ý:
Khi khảo sát điều tra hàm số lũy quá với số mũ cố kỉnh thể, ta phải xét hàm số đó trên tổng thể tập khẳng định của nó.
4. Bài xích tập minh họa
Ví dụ 1:Tìm tập xác định của những hàm số sau:
a)(y=x^6)
b)(y=(1-x)^sqrt2)
c)(y=(x+2)^-3)
Lời giải:a) Hàm số(y=x^6)xác định với mọi(xinmathbbR).
Xem thêm: Vi Khuẩn Có Những Hình Dạng Nào Cấu Tạo Của Chúng Ra Sao ? Giải Bài Tập Sinh Học 6
Vậy tập xác định của hàm số là(D=mathbbR.)
b) Hàm số(y=(1-x)^sqrt2)xác định khi(1 - x > 0 Leftrightarrow x Ví dụ 2:
Tính đạo hàm các hàm số
a)(y = x^sqrt 2 + 1)
b)(y = x^3pi )
c)(y=x^-0,9)
Lời giải:a)(y" = - frac12x^ - frac12 - 1 = - frac12x^ - frac32 = - frac12sqrt x^3 .)
b)(y" = 3pi .x^3pi - 1).
c)(y" = - 0,9x^ - 0,9 - 1 = - 0,9x^ - 1,9.)
Ví dụ 3:Tính đạo hàm những hàm số sau:
a)(y = (2x + 1)^pi )
b)(y = (3x^2 - 1)^ - sqrt 2 )
c)(y = left( 2x^2 + x - 1 ight)^frac23)
Lời giải:a)(y" = pi (2x + 1)^pi - 1(2x + 1)" = 2pi (2x + 1)^pi - 1.)
b)(y" = - sqrt 2 left( 3x^2 - 1 ight)^ - sqrt 2 - 1(3x^2 - 1)" = - 6sqrt 2 x(3x^2 - 1)^ - sqrt 2 - 1.)