Tổng quát mắng hơn, ta xét

*
là hàm suy rộng trên
*
với đạo hàm suy rộng của chính nó là hàm suy rộng
*
thì
*
là hàm suy rộng hằng.

Bạn đang xem: Hàm hằng

Một cách tương tự cho hàm cùng hàm suy rộng xác minh trên miền (mở+liên thông) trong không khí

*
chúng ta thử cụ thể việc tương tự này xem sao?

Quay trở lại trường vừa lòng 1-chiều, hàm lồi bên trên toàn đường thẳng với bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại khái niệm hàm lồi:

*
được hotline là hàm lồi nếu

với đa số cặp điểm

*
ta số đông có

*

Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho

*
khả vi đến cung cấp 2 với đạo hàm cung cấp 2 của nó

*

Khi kia nếu

*
bị chặn trên, nghĩa là có số
*
để

*

thì

*
là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không tồn tại đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn

*
hay các hàm tất cả đồ thị con đường tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng

*
là hàm lồi khi còn chỉ khi nó bao gồm đạo hàm suy rộng trung học cơ sở
*
là độ đo Radon, tức là hàm suy rộng lớn dương

*

hay

*

Ta rất có thể thấy điều đó qua ví dụ

*
gồm
*
, giỏi
*
gồm đồ thị tuyến đường tính từng khúc có

*

với

*
là hoành độ điểm gãy,
*
là độ lệch giữa thông số góc của đoạn bắt buộc và đoạn trái được nối với nhau trên điểm
*
.

Một cách tương tự chúng ta thử phát biểu mang lại hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

*

Khi đó nếu

*
bị ngăn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo xẻ đề Weyl, đạo hàm cấp hai

*
nghỉ ngơi trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, tức thị ta chỉ cần giả sử
*
có

*

Khi đó nếu

*
thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp sau của bài viết quan vai trung phong đến: với những điều khiếu nại gì đặt trên các đạo hàm riêng cấp cho 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn

*
thì hàm là hàm hằng? Trả lời thắc mắc này ta thu được những Định lý hình dáng Liouville.

Ta bắt đầu với các điều kiện bỏ lên trên đạo hàm riêng cung cấp 1 cùng

*
để ý ta có thể coi
*
theo cách
*
Ta lưu ý đến các hàm
*
. Ta có các đạo hàm riêng

*
,

*
,

với

*

Đến phía trên ta chạm mặt khái niệm tựa bao gồm quy (quasiregular) sau:

Hàm

*
được call là tựa thiết yếu quy nếu

*

với hằng số

*

Khi đó ta có hiệu quả sau:

Nếu hàm tựa chủ yếu quy

*
thỏa mãn:

*
0," class="latex" />

thì

*
là hàm hằng.

Đặc biệt, lúc hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để chuyển sang trường thích hợp

*
ta bắt buộc quan sát điều kiện tựa thiết yếu quy. Để ý:

-) Jacobien

*
,

-) chuẩn chỉnh của đạo ánh

*

-) và

*

nên

*
là tựa bao gồm quy khi và chỉ còn khi

*

hay

*

hoặc

*

với hằng số

*
.

Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong

*
như sau:

Hàm

*
thỏa mãn

*

với hằng số

*

được call là hàm tựa bao gồm quy.

Nhắc lại

-) ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) chuẩn chỉnh của ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

*

Khi kia ta cũng có

*

với hằng số

*

Đặt

*
lần lượt là số nhỏ nhất trong số
*
thỏa mãn nhu cầu (1), (2).

Trong trường hòa hợp

*
ta có
*

Ta có tác dụng sau mang lại hàm tựa bao gồm quy trong

*
như sau:

Cho

*
là hàm tựa thiết yếu quy thỏa mãn

*

với

*
khi ấy
*
là hàm hằng.

Đặc biệt, trường hợp hàm tựa bao gồm quy bị ngăn thì nó là hàm hằng.

Trong trường thích hợp

*
, hàm tựa chủ yếu quy cùng với hằng số
*
giỏi
*
, theo ngã đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Lúc ấy từng nguyên tố của nó đầy đủ là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville mang đến hàm chỉnh hình trên
*
cũng tương tự hàm cân bằng trên khía cạnh phẳng.

Chú ý rằng hàm cân bằng là nghiệm của phương trình Laplace, ngôi trường hợp đặc trưng của phương trình elliptic. Phần tiếp ta lưu ý đến nghiệm

*
của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

*

trong đó

*
là các hàm đo được thỏa mãn

*

*

trong kia

*
là các hằng số dương.

Khi đó nếu

*
thì nó là hàm hằng.

Ta quan tiếp giáp lại bài viết:

– bước đầu xét hàm

*
,

– không ngừng mở rộng

*
,

– rồi

*
và
*
,

– trở về

*

Tiếp đến ta lưu ý đến nghiệm theo nghĩa suy rộng lớn

*
của hệ phương trình elliptic

*

với

*

và hệ số

*
thỏa mãn

*

Khi đó, giả dụ

*
tất cả độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

*

thì

*
là đa thức bậc
*
nghĩa là từng thành phần của chính nó là nhiều thức bậc
*

Đặc biệt giả dụ

*
thì nó là hằng số.

Nhắc lại:

*
được call là nghiệm của hệ (3) nếu

*

Vừa rồi ta xét các hàm khẳng định trên toàn không khí

*
quay trở về đầu bài những hàm chỉ cần xác định bên trên miền (mở+liên thông). Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không khí là rất yêu cầu qua ví dụ:

– hàm

*
là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình trụ đơn vị.

Xem thêm: Sức Sống Tiềm Tàng Của Mị Trong Đêm Tình Mùa Đông, Sức Sống Tiềm Tàng Của Mị Trong Đêm Mùa Đông

Phần cuối của nội dung bài viết ta trở lại xét hàm

*
là miền trong
*
H. Brezis là người trước tiên đưa ra những điều kiện độc đáo dạng tích phân như sau:

Hàm đo được

*
thỏa mãn

*

thì

*
là hàm hằng.

Tổng quát rộng một chút, cùng với

*
thỏa mãn

*

*
\delta}\rho_\epsilon(|x|)dx=0, \forall \delta> 0;" class="latex" />