Trong toán học, hàm hợp là một phép toán nhận hai hàm số f và g và cho ra một hàm số h thế nào cho h(x) = g(f(x)). Vào phép toán này, hàm số f : X Y cùng g : Y Z được hợp lại để tạo nên thành một hàm new biến x ở trong X thành g(f(x)) thuộc Z.

Bạn đang xem: Hàm hợp


Hàm hợp thành này thường được ký kết hiệu là g f: X Z, định nghĩa bởi (g f )(x) = g(f(x)) for all x inX.Ký hiệu g f gọi là "g tròn f ", "g phù hợp f", "g của f", hoặc "g bên trên f ".

Hợp của hàm là 1 trường hợp của vừa lòng của quan hệ, nên toàn bộ tính hóa học của loại sau cũng đúng với hợp của các hàm.<1> hòa hợp của hàm còn tồn tại thêm một số tính hóa học khác.

Ví dụ

*

g f , hợp của f cùng g. Ở đây, (g f )(c) = #.

*

Ví dụ rõ ràng cho đúng theo của nhị hàm.

Hợp của hàm bên trên tập hữu hạn: giả dụ f = (1, a), (2, b), (3, c), (4, d), cùng g = (a, 6), (b, 5), (c, 4), (d, 3), (e, 2), (f, 1), thì g f = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3).Hợp của hàm trên tập hữu hạn: ví như f: (trong chính là tập những số thực) cho vày f(x) = 2x + 4 với g: cho vị g(x) = x3, thì:(f g)(x) = f(g(x)) = f(x3) = 2x3 + 4(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)3.Nếu độ cao của một máy cất cánh tại thời hạn t được cho vị hàm số h(t), cùng nồng độ oxi tại chiều cao x được cho do hàm số o(x), thì (o h)(t) trình bày nồng độ oxi bao bọc máy bay ở thời gian t.

Tính chất

Hợp của hàm số luôn có tính kết hợpmột đặc thù từ hòa hợp của quan hệ.<1> Tức là, giả dụ f, g, với h là cha hàm số cùng với tập xác minh và tập quý hiếm thích hợp, thì f (g h) = (f g) h, trong đó các vết ngoặc tròn chỉ các hàm được phù hợp trước. Do không tồn tại sự biệt lập giữa giải pháp đặt vệt ngoặc, ta có thể bỏ chúng mà không khiến hiểu nhầm nào.

Theo nghĩa chặt nhất, hàm vừa lòng g f chỉ có thể được tạo ra thành nếu miền quý hiếm của f bởi miền xác minh của g; vào nghĩa rộng hơn thì chỉa buộc phải cái trước là tập bé của cái sau. không tính ra, để tiện hơn vậy thì người ta thường thản nhiên thu nhỏ nhắn miền xác minh của f thế nào cho f chỉ tạo ra giá trị vào miền khẳng định của g; ví dụ, cùng với hàm f : (,+9> cho vị f(x) = 9 x2 và g : <0,+) cho vày g(x) = x, thì hàm vừa lòng g f rất có thể được khái niệm trên khoảng chừng <3,+3> là g f= 9 x2.

*

Hợp của hàm giá bán trị tuyệt đối hoàn hảo và một hàm bậc bố theo lắp thêm tự không giống nhau, cho thấy tính không đổi chác của một phép hợp

Hàm số g cùng f được hotline là đổi chác với nhau ví như g f = f g. Tính giao hoán là 1 trong tính hóa học đặc biệt, chỉ có bởi một trong những hàm cùng trong một vài trường hợp độc nhất định. Ví dụ, | x | + 3 = | x + 3 | chỉ lúc x 0. Hình ở bên cạnh cho thấy một hàm vừa lòng của nhì hàm không giao hoán.

Hợp của nhì hàm đơn ánh luôn luôn là đơn ánh. Tương tự, thích hợp của nhì hàm toàn ánh luôn là toàn ánh, và hợp của nhì hàm song ánh cũng là một song ánh. Hàm ngược của một hàm hòa hợp (nếu có) có tính chất (f g)1 = g1 f1.<2>

Đạo hàm của hàm hợp của những hàm khả vi hoàn toàn có thể được tính bởi quy tắc dây chuyền. Đạo hàm bậc cao của những hàm này được cho bởi phương pháp Faà di Bruno.

Monoid hợp

Bài đưa ra tiết: Monoid phát triển thành đổi

*

Phép Đồng dạng trở thành tam giác EFA thành tam giác ATB là phù hợp của hai phép biến chuyển hình: phép vị từ bỏ H với phép xoay R, với tâm đông đảo là S. Ví dụ, ảnh của A bên dưới phép xoay R là U, viết là R(A) = U. Đồng thời H(U) = B, tức phép vị từ H đổi thay U thành B. Vì vậy H(R(A)) = (H R)(A) = B.

Giả sử gồm hai (hoặc các hơn) hàm số f: X X, g: X X tất cả cùng miền khẳng định và miền giá trị; chúng thường được điện thoại tư vấn là đổi mới đổi. Khi đó ta hoàn toàn có thể hình thành một chuỗi các biến hóa hợp cùng với nhau, như là f f g f. đa số chuỗi như vậy có cấu trúc đại số của một monoid, gọi là một trong những monoid chuyển đổi hoặc (hiếm hơn) monoid hợp. Quan sát chung, monoid đổi khác có thể có cấu tạo rất phức tạp. Một ví dụ rất nổi bật là con đường cong de Rham. Tập hợp toàn bộ hàm số f: X X được điện thoại tư vấn là nửa nhóm chuyển đổi toàn phần<3> xuất xắc nửa đội đối xứng<4> trên X.

Nếu những phép biến hóa đều là tuy vậy ánh (do đó tất cả hàm ngược), thì tập hợp toàn bộ cách phối kết hợp những hàm này chế tạo ra thành một nhóm biến đổi; với ta nói team này được sinh vì chưng những hàm đó. Một kết quả quan trọng trong lý thuyết nhóm, định lý Cayley, nói rằng ngẫu nhiên nhóm nào cũng là nhóm bé của một tổ hoán vị (xét mang lại phép đẳng cấu).<5>

Tập tất cả các hàm tuy vậy ánh f: X X tạo nên thành một nhóm so với hàm hợp, call là team đối xứng.

Xem thêm: Đáp Án Môn Toán 2018 Của Bộ Giáo Dục, Đáp Án Môn Toán Thpt Quốc Gia 2018

Hợp của hàm (khoa học máy tính)Hàm lặpDòng (toán học)Hàm bậc caoCobweb plot a graphical technique for functional compositionPhép tính lambdaCăn bậc nhì hàmVành hợp, một phạt biểu ngặt nghèo cho phép hợp

Ghi chú

^ một trong những tác giả sử dụng f g: X Z, định nghĩa bởi (f g )(x) = g(f(x)). Ký hiệu này thông dụng khi sử dụng ký hiệu hậu tố, quan trọng nếu các hàm được trình diễn bằng số mũ, ví dụ như tác động nhóm. Xem Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation groups, Springer, tr.5, ISBN0-387-94599-7^ Nghĩa chặt rộng được dùng, như trong lý thuyết phạm trù, khi dục tình tập nhỏ được biểu diễn bằng một ánh xạ nhúng.

Tham khảo

Liên kết ngoài