Bài viết này slovenija-expo2000.com giới thiệu đến các bạn đọc kim chỉ nan và lấy một ví dụ minh hoạ bao gồm lời giải chi tiết về triển khai Taylor dùng để xấp xỉ hàm số bởi một nhiều thức:

*

1. Triển khai Taylor so với đa thức

Xét đa thức $P(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+...+a_1x+a_0,$ lúc ấy với điểm $x_0$ bất cứ ta có

$P(x)=P(x_0)+fracP"(x_0)1!(x-x_0)+fracP""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracP^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n.$

Ví dụ 1: Khai triển $P(x)=x^3+x-1$ theo luỹ quá nguyên dương của $x-1.$

Giải. Có $P"(x)=3x^2+1,P""(x)=6x,P"""(x)=6.$ Vậy

$eginarrayc P(x) = P(1) + fracP"(1)1!(x - 1) + fracP""(1)2!(x - 1)^2 + fracP"""(1)3!(x - 1)^3\ = 1 + frac41!(x - 1) + frac62!(x - 1)^2 + frac63!(x - 1)^3\ = 1 + 4(x - 1) + 3(x - 1)^2 + (x - 1)^3. endarray$

Ví dụ 2: Khai triển đa thức $P(x)=x^5+x^3-3x^2+1$ theo luỹ thừa nguyên dương của $x-1.$

Giải. Có $left{ eginarrayl P(x) = x^5 + x^3 - 3x^2 + 1\ P"(x) = 5x^4 + 3x^2 - 6x\ P""(x) = 20x^3 + 6x - 6\ P"""(x) = 60x^2 + 6\ P^(4)(x) = 120x\ P^(5)(x) = 120 endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl P(1) = 0\ P"(1) = 2\ P""(1) = 20\ P"""(1) = 66\ P^(4)(1) = 120\ P^(5)(1) = 120 endarray ight..$ Vậy

$eginarrayc P(x) = frac21!(x - 1) + frac202!(x - 1)^2 + frac663!(x - 1)^3 + frac1204!(x - 1)^4 + frac1205!(x - 1)^5\ = 2(x - 1) + 10(x - 1)^2 + 11(x - 1)^3 + 5(x - 1)^4 + (x - 1)^5. endarray$

2. Triển khai Taylor so với hàm số bất kì

Khai triển Taylor với phần dư dạng Peano

Giả sử hàm số $f(x)$ gồm đạo hàm đến cung cấp $n$ trong ở kề bên $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ lúc đó:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+oleft< (x-x_0)^n ight>.$

công thức bên trên được điện thoại tư vấn là bí quyết khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ đến bậc $n$ trên điểm $x_0$ với phần dư dạng Peano.

Bạn đang xem: Khai triển

$r(x)=oleft< (x-x_0)^n ight>$ được gọi là phần dư với được call là phần dư dạng peano.

Khai triển Mac – Laurin

Trong bí quyết khai triển Taylor cùng với phần dư dạng peano lúc $x_0=0,$ ta có

$f(x)=f(0)+fracf"(0)1!x+fracf""(0)2!x^2+...+fracf^(n)(0)n!x^n+o(x^n).$

công thức này được gọi là cách làm khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor cùng với phần dư dạng Lagrange

Giả sử hàm số $f(x)$ gồm đạo hàm đến cấp $n+1$ trong ở bên cạnh $(x_0-delta ;x_0+delta )$ của điểm $x_0.$ khi đó:

$f(x)=f(x_0)+fracf"(x_0)1!(x-x_0)+fracf""(x_0)2!(x-x_0)^2+...+fracf^(n)(x_0)n!(x-x_0)^n+fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ trong đó $c$ là điểm nào đó nằm trong lòng $x$ với $x_0.$

công thức trên được hotline là phương pháp khai triển Taylor của hàm số $f(x)$ cho bậc $n$ trên điểm $x_0$ với phần dư dạng lagrange.

$r(x)=fracf^(n+1)(c)(n+1)!(x-x_0)^n+1,$ được hotline là phần dư dạng Lagrange.

3. Khai triển Mac - Laurin của một số hàm sơ cấp hay dùng

$y=e^xRightarrow y^(n)(x)=e^xRightarrow y^(n)(0)=1Rightarrow e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$$y = sin x Rightarrow y^(n)(x) = sin left( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = sin fracnpi 2 = left{ eginarrayl 0,n = 2k\ ( - 1)^k,n = 2k + 1 endarray ight..$

Vậy $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!-...+frac(-1)^n(2n+1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$

$y = cos x Rightarrow y^(n)(x) = cos xleft( x + fracnpi 2 ight) Rightarrow y^(n)(0) = cos fracnpi 2 = left{ eginarrayl ( - 1)^k,n = 2k\ 0,n = 2k + 1 endarray ight..$

Vậy $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$

$y=ln (1+x)Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^n-1(n-1)!(x+1)^nRightarrow y^(n)(0)=(-1)^n-1(n-1)!.$

Vậy$ln (1 + x) = x - fracx^22 + fracx^33 - ... + frac( - 1)^n - 1x^nn + o(x^n).$

$y=frac1x+1Rightarrow y^(n)(x)=frac(-1)^nn!(x+1)^n+1Rightarrow y^(n)(0)=(-1)^nn!.$

Vậy $frac1x+1=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n).$

Ví dụ 1: Khai triển Taylor đến cấp cho 2 trên điểm $x=frac12$ với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=arcsin x.$

Giải. Có $fleft( frac12 ight)=arcsin frac12=fracpi 6$ cùng $f"(x)=frac1sqrt1-x^2Rightarrow f"left( frac12 ight)=frac2sqrt3$ và $f""(x)=fracxsqrt(1-x^2)^3Rightarrow f""left( frac12 ight)=frac43sqrt3.$

Vậy $f(x)=fracpi 6+frac2sqrt3(x-1)+frac23sqrt3(x-1)^2+oleft< (x-1)^2 ight>.$

Ví dụ 2: Khai triển Taylor đến cấp 5 tại điểm $x=1$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $f(x)=(x-1)^3arccos (x-1).$

Giải. Ta triển khai Taylor đến cung cấp 2 trên điểm $x=1$ cùng với phần dư dạng peano của hàm số $g(x)=arccos (x-1).$

Có $g(1)=arccos 0=fracpi 2$ với $g"(x)=-frac1sqrt1-(x-1)^2=-frac1sqrt2x-x^2Rightarrow g"(1)=-1$ và $g""(x)=frac1-xsqrt(2x-x^2)^3Rightarrow g""(1)=0.$ Suy ra $g(x)=fracpi 2-(x-1)+oleft< (x-1)^2 ight>.$

Vậy $f(x)=(x-1)^3g(x)=fracpi 2(x-1)^3-(x-1)^4+oleft< (x-1)^5 ight>.$

Ví dụ 3: Khai triển hàm số $f(x)=sqrt<3>x+7$ theo luỹ quá của $x-1$ đến bậc 3 cùng với phần dư dạng peano.

Giải. Ta có

$eginarrayl f(1) = 2;\ f"(x) = frac13(x + 7)^ - frac23 Rightarrow f"(1) = frac112;\ f""(x) = - frac29(x + 7)^ - frac53 Rightarrow f""(1) = - frac1144;\ f"""(x) = frac1027(x + 7)^ - frac83 Rightarrow f"""(1) = frac53456. endarray$

Vậy $f(x)=2+frac112(x-1)-frac1288(x-1)^2+frac520736(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 4: Khai triển Mac – Laurin đến cung cấp 4 của hàm số $f(x)=intlimits_0^xln (1+t)dt.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(0) = 0;\ f"(x) = ln (1 + x) Rightarrow f"(0) = 0;\ f""(x) = frac11 + x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - frac1(1 + x)^2 Rightarrow f"""(0) = - 1;\ f^(4)(x) = frac2(1 + x)^3 Rightarrow f^(4)(0) = 2. endarray$

Vậy $f(x)=frac12x^2-frac16x^3+frac112x^4+o(x^4).$

Ví dụ 5: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=x^2sin 2x+3.$

Giải. Có $g(x)=sin 2x=2x-frac(2x)^33!+frac(2x)^55!-...+frac(-1)^n-1(2n-1)!(2x)^2n-1+o(x^2n-1).$

Vậy $f(x)=x^2g(x)+3=3+2x^3-frac2^33!x^5+frac2^55!x^5-...+frac(-1)^n-12^2n-1(2n-1)!x^2n+1+o(x^2n+1).$

Ví dụ 6: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfrac12x+3.$

Giải. Ta có

<eginarrayl f(0) = frac13;\ f"(x) = - frac2(2x + 3)^2 Rightarrow f"(0) = - frac29;\ f""(x) = frac8(2x + 3)^3 Rightarrow f""(0) = frac827;\ f"""(x) = - frac48(2x + 3)^4 Rightarrow f"""(0) = - frac1627;\ ...\ f^(n)(x) = frac( - 2)^n.n!(2x + 3)^n + 1 Rightarrow f^(n)(x) = frac( - 2)^n.n!3^n + 1. endarray>

Vậy $f(x)=frac13-frac29x+frac827x^2-frac1627x^3+...+frac(-2)^n.n!3^n+1x^n+o(x^n).$

Ví dụ 7: Khai triển Taylor theo các luỹ vượt của $x-1$ mang đến bậc tía của hàm số $f(x)=dfrac1sqrtx.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = frac1sqrt x Rightarrow f(1) = 1;\ f"(x) = - frac12x^ - frac32 Rightarrow f"(1) = - frac12;\ f""(x) = frac34x^ - frac52 Rightarrow f""(1) = frac34;\ f"""(x) = - frac158x^ - frac72 Rightarrow f"""(1) = - frac158. endarray$

Vậy $f(x)=1-frac12(x-1)+frac38(x-1)^2-frac516(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 8: Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa của $x-1$ mang lại bậc cha của hàm số $f(x)=x^x-1.$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = x^x - 1 Rightarrow f(1) = 0;\ f(x) = e^xln x - 1 Rightarrow f"(x) = left( ln x + 1 ight)e^xln x Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = frac1xe^xln x + left( ln x + 1 ight)^2e^xln x Rightarrow f""(1) = 2;\ f"""(x) = - frac1x^2e^xln x + frac1xleft( ln x + 1 ight)e^xln x + frac2x(ln x + 1)e^xln x + left( ln x + 1 ight)^3e^xln x Rightarrow f"""(1) = 3. endarray$

Vậy $f(x)=(x-1)+(x-1)^2+frac12(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 9: Khai triển Taylor theo theo luỹ quá của $x-2$ cho bậc ba của hàm số $f(x)=dfracxx-1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = fracxx - 1 Rightarrow f(2) = 2;\ f(x) = frac(x - 1) + 1x - 1 = 1 + frac1x - 1 Rightarrow f"(x) = - frac1(x - 1)^2 Rightarrow f"(2) = - 1;\ f""(x) = frac2(x - 1)^3 Rightarrow f""(2) = 2;\ f"""(x) = - frac6(x - 1)^4 Rightarrow f"""(2) = - 6. endarray$

Vậy $f(x)=2-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 10: Khai triển Taylor theo theo luỹ vượt của $x-1$ mang lại bậc ba của hàm số $f(x)=ln (1-x+x^2).$

Giải.

$eginarrayl f(x) = ln (1 - x + x^2) Rightarrow f(1) = 0;\ f"(x) = dfrac2x - 1x^2 - x + 1 Rightarrow f"(1) = 1;\ f""(x) = - dfrac2x^2 - 2x - 1(x^2 - x + 1)^2 Rightarrow f""(1) = 1;\ f"""(x) = dfrac2(2x - 1)(x^2 - x - 2)(x^2 - x + 1)^3 Rightarrow f"""(1) = - 4. endarray$

Vậy $f(x)=(x-1)+dfrac(x-1)^22-dfrac2(x-1)^33+oleft< (x-1)^3 ight>.$

Ví dụ 11: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^-dfracx^22.$

Giải. Xét $g(x)=e^x$ ta tất cả $g(x)=e^xRightarrow g(0)=1;g^(n)(x)=e^xRightarrow g^(n)(0)=1.$

Vậy $g(x)=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n).$

Suy ra $f(x)=gleft( -fracx^22 ight)=1-fracx^21!.2^1+fracx^42!.2^2-fracx^63!.2^3+...+frac(-1)^nx^2nn!.2^n+o(x^2n).$

Ví dụ 12: Khai triển Mac – Laurin mang đến luỹ vượt bậc 3 của $x$ của hàm số $f(x)=e^sin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = e^sin x Rightarrow f(0) = 1;\ f"(x) = cos xe^sin x Rightarrow f"(0) = 1;\ f""(x) = - sin xe^sin x + cos ^2xe^sin x Rightarrow f""(0) = 1;\ f"""(x) = - cos xe^sin x - sin xcos xe^sin x - 2cos xsin xe^sin x + cos ^3xe^sin x Rightarrow f"""(0) = 0. endarray$

Vậy $f(x)=1+x+fracx^22+o(x^3).$

Ví dụ 13: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=e^ an x$ đến bậc 5 của $x.$

Giải. Có $f(x)=1+x+fracx^22+fracx^32+frac3x^48+o(x^5).$

Ví dụ 14: Khai triển Mac – Laurin của hàm số $y=xsin x^2$ đến luỹ thừa $x^11.$

Giải. Có $sin x=x-fracx^33!+fracx^55!+o(x^5).$

Suy ra $sin x^2=x^2-fracx^63!+fracx^105!+o(x^10).$

Vì vậy $xsin x^2=x^3-fracx^73!+fracx^115!+o(x^11).$

Ví dụ 15:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=dfracx^2+5x^2+x-12.$

Có $egingathered f(x) = fracx^2 + 5x^2 + x - 12 = 1 + frac2x - 3 - frac3x + 4 = 1 - frac23frac11 - fracx3 - frac34frac11 + fracx4 \ = 1 - frac23left( 1 - left( - fracx3 ight) + left( - fracx3 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( - fracx3 ight)^n + o(x^n) ight) - frac34left( 1 - left( fracx4 ight) + left( fracx4 ight)^2 - ... + ( - 1)^nleft( fracx4 ight)^n + o(x^n) ight) \ = - frac512 - frac5144x - frac2091728x^2 - ... + ( - 1)^nleft( - frac23left( - frac13 ight)^n - frac34left( frac14 ight)^n ight)x^n + o(x^n). \ endgathered $

Ví dụ 16:Khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=cos ^3x.$

Có $egingathered f(x) = cos ^3x = frac14cos 3x + frac34cos x \ = frac14left( 1 - fracleft( 3x ight)^22! + fracleft( 3x ight)^44! - ... + frac( - 1)^nleft( 3x ight)^2n(2n)! + o(x^2n) ight) + frac34left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac32x^2 + frac78x^4 - ... + ( - 1)^nfrac9^n + 34(2n)!x^2n + o(x^2n). \ endgathered $

Ví dụ 17:Khai triển Taylor của hàm số $f(x)=ln left( dfrac(x-1)^x-23-x ight)$ đếp cấp cho 4 của $x-2$ cùng với phần dư dạng Peano.

Có $egingathered f(x) = ln left( dfrac(x - 1)^x - 23 - x ight) = (x - 2)ln (x - 1) - ln (3 - x) hfill \ Rightarrow f"(x) = ln (x - 1) + fracx - 2x - 1 + frac13 - x Rightarrow f""(x) = frac1x - 1 + frac1(x - 1)^2 + frac1(x - 3)^2 hfill \ Rightarrow f"""(x) = - frac1(x - 1)^2 - frac2(x - 1)^3 - frac2(x - 3)^3 hfill \ Rightarrow f^(4)(x) = frac2(x - 1)^3 + frac6(x - 1)^4 + frac6(x - 3)^4 hfill \ Rightarrow f(2) = 0;f"(2) = 1;f""(2) = 3;f"""(2) = - 1;f^(4)(2) = 14 hfill \ Rightarrow f(x) = (x - 2) + frac32(x - 2)^2 - frac16(x - 2)^3 + frac712(x - 2)^4 + oleft( (x - 3)^4 ight). hfill \ endgathered $

4. Ứng dụng khai triển Taylor tính giới hạn của hàm số

Ví dụ 1: Tìm số thực $a$ làm thế nào cho $undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=1.$

Giải.Cách 1: sử dụng Lôpitan có

$undersetx o 0mathoplim ,dfracln (ax^2+x+1)-xx^2=undersetx o 0mathoplim ,fracdfrac2ax+1ax^2+x+1-12x=undersetx o 0mathoplim ,dfrac(2a-1)x-ax^22x(ax^2+x+1)=undersetx o 0mathoplim ,dfrac2a-1-ax2(ax^2+x+1)=dfrac2a-12.$

Vậy $dfrac2a-12=1Leftrightarrow a=dfrac32.$

5. Ứng dụng khai triển Taylor vào các dạng việc khác

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ xác minh và tất cả đạo hàm cấp 2 thường xuyên trên đoạn $<0;1>$ bằng lòng $f(0)=f(1)$ và $left| f""(x) ight|le A,forall xin <0;1>.$ minh chứng rằng $left| f"(x) ight|le dfracA2,forall xin <0;1>.$

Giải. Khai triển Taylor cùng với phần dư dạng lagrange có:

$eginarrayl f(0) = f(x) + f(x) + f"(x)(0 - x) + dfracf""(a)2(0 - x)^2;\ f(1) = f(x) + f"(x)(1 - x) + dfracf""(b)2(1 - x)^2. endarray$

Với $a$ là số thực nằm giữa $0$ cùng $x;b$ là số thực nằm giữa $1$ cùng $x.$

Kết hợp giả thiết tất cả

<eginarrayc left| f"(x) ight| = left| dfracf""(a)2x^2 - dfracf""(b)2(1 - x)^2 ight|\ le left| dfracf""(a)2x^2 ight| + left| dfracf""(b)2(1 - x)^2 ight|\ le dfracAx^22 + dfracA(1 - x)^22 = fracA2(2x^2 - 2x + 1) = dfracA2(2x(x - 1) + 1) le dfracA2,forall x in <0;1>. endarray>

Ví dụ 2: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$là hàm khả vi 2 lần so cho với đa số $xin left< 0,1 ight>$thì $f""(x)le 1$. Minh chứng rằng

$f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)le frac14$.

Giải. Để ý mang lại đại lượng $f(0),f(1)$ với $2fleft( frac12 ight)$ vấn đề đó làm ta cân nhắc đến khai triển Tayor trên $x_0=frac12$.

Khai triển Taylor ta được

$f(0)=fleft( frac12 ight)-frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_1),x_1in left( 0,frac12 ight)$ ,

$f(1)=fleft( frac12 ight)+frac12f"left( frac12 ight)+frac18f""(x_2),x_2in left( frac12,1 ight)$.

cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được $f(0)-2fleft( frac12 ight)+f(1)=frac18left( f""(x_1)+f""(x_2) ight)le frac14$.

Bài toán được triệu chứng minh.

Ví dụ 3: Cho $f:left< 0,1 ight> o mathbbR$khả vi cấp 2 bên trên $left< 0,1 ight>$ thỏa mãn $f(0)=f(1)=a$ với $undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Minh chứng rằng

mathop extmax,f""(x)ge 8left( a-b ight)>.

Giải. Do $f$ liên tiếp trên $left< 0,1 ight>$ nên tồn tại $x_0in left< 0,1 ight>$ sao để cho $f(x_0)=undersetxin left< 0,1 ight>mathopmin ,f(x)=b$. Theo định lý Fermat thì $f"(x_0)=0$. Khai triển Taylor ta được

$a=f(0)=f(x_0)+f"(x_0)left( 0-x_0 ight)+fracf""(x_1)2x_0^2Rightarrow a-b=fracf""(x_1)2x_0^2$ với $x_1in left( 0,x_0 ight)$

Ví dụ 4: Cho $f:mathbbR o mathbbR$là hàm khả vi với đạo hàm cung cấp 2 dương. Chứng minh rằng

$fleft( x+f"(x) ight)ge f(x)$ với mọi số thực $x$.

Giải. Khai triển Taylor trên $x_0=x$ ta được

$fleft( x+f"(x) ight)=f(x)+f"(x)left( x+f"(x)-x ight)+fracf""(delta x)2left( x+f"(x)-x ight)^2$.

Suy ra $fleft( x+f"(x) ight)-f(x)=left( f"(x) ight)^2+fracf""(delta x)2left( f"(x) ight)^2ge 0$.

Bài toán được minh chứng hoàn toàn.

Xem thêm: Involved Là Gì - Cấu Trúc Và Cách Dùng Involve Trong Tiếng Anh

6. Ứng dụng triển khai Taylor nhằm tính đạo hàm cấp cao tại điểm x=0.

Ví dụ 1: khai triển Mac – Laurin của hàm số từ kia tính đạo hàm $f^2019(0).$

Áp dụng cách làm $e^x=1+fracx1!+fracx^22!+fracx^33!+...+fracx^nn!+o(x^n)$ ta có

$egingathered f(x) = left( x^3 + 1 ight)e^x^3 = x^3e^x^3 + e^x^3 \ = x^3left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n - 3(n - 1)! + o(x^3n - 3) ight) + left( 1 + fracx^31! + fracx^62! + fracx^93! + ... + fracx^3n(n - 1)! + o(x^3n) ight) \ = 1 + 2x^3 + frac32x^6 + frac23x^9 + ... + left( frac1(n - 1)! + frac1n! ight)x^3n + o(x^3n). \ endgathered $

Do kia $fracf^(3n)(0)(3n)!=frac1(n-1)!+frac1n!Rightarrow f^(2019)(0)=2019!left( frac1672!+frac1673! ight).$

Ví dụ 2:Khai triển Mac – Laurin của hàm số từ đó tính đạo hàm $f^2020(0).$

Áp dụng công thức $cos x=1-fracx^22!+fracx^44!-...+frac(-1)^n(2n)!x^2n+o(x^2n).$

Ta có

$egingathered f(x) = (x^2 + 1)cos x = x^2cos x + cos x \ = x^2left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^n - 1x^2n - 2(2n - 2)! + o(x^2n - 2) ight) + left( 1 - fracx^22! + fracx^44! - ... + frac( - 1)^nx^2n(2n)! + o(x^2n) ight) \ = 1 - frac12x^2 - frac1124x^4 + ... + left( frac( - 1)^n(2n)! + frac( - 1)^n - 1(2n - 2)! ight)x^2n + o(x^2n). \ endgathered $

Do đó $fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n(2n)!+frac(-1)^n-1(2n-2)!Rightarrow f^(2020)(0)=2020!left( frac12020!-frac12018! ight).$

Ví dụ 3: khai triển Mac – Laurin của hàm số $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)$ từ kia tính $f^(2020)(0).$

Áp dụng công thức: $ln (1+x)=x-fracx^22+fracx^33-...+frac(-1)^n-1x^nn+o(x^n).$

Do kia $f(x)=ln left( 1+x^2 ight)=x^2-fracx^42+fracx^63-...+frac(-1)^n-1x^2nn+o(x^2n)Rightarrow fracf^(2n)(0)(2n)!=frac(-1)^n-1nRightarrow f^(2020)(0)=-frac2020!1010.$

7. Ứng dụng khai triển Taylor cùng với phần dư dạng Lagrange tính gần đúng giá trị biểu thức