Cho hai số dương a, b cùng với (a
e1). Nghiệm nhất của phương trình (a^x = b) được gọi là (log _ab) ( tức là số (alpha) có đặc điểm là (a^alpha = b)).
Bạn đang xem: Lôgarit
Như vậy (log _ab = alpha Leftrightarrow a^alpha = b).
Ví dụ: (log _416 = 2) do (4^2 = 16).
2. Lôgarit thập phân với lôgarit từ bỏ nhiên
Lôgarit cơ số 10 còn gọi là lôgarit thập phân, số log10b thường được viết là logb hoặc lgb.
Lôgarit cơ số (e) ((e= mathop lim limits_n o + infty left( 1 + dfrac 1 n ight)^n) ≈ 2,718281828459045) còn gọi là lôgarit tự nhiên, số logeb hay được viết là lnb.
3. đặc thù của lôgarit
Lôgarit gồm các tính chất rất phong phú, rất có thể chia ra thành những nhóm sau đây:
1) Lôgarit của đơn vị và lôgarit của cơ số:
Với cơ số tùy ý, ta luôn luôn có loga1 = 0 và logaa= 1.
2) Phép nón hóa với phép lôgarit hóa theo thuộc cơ số (mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính aα; lôgarit hóa số dương b theo cơ số a là tính logab) là nhì phép toán ngược nhau.
(∀a >0 ,(a e) 1), (∀b> 0), (a^log _ab = b)
(∀a >0 , (a e 1)), (log _aa^alpha = α)
3) Lôgarit và các phép toán: Phép lôgarit hóa biến hóa phép nhân thành phép cộng, phép phân thành phép trừ, phép thổi lên lũy vượt thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, ví dụ là
Với (forall a,b_1,b_2 > 0,a e 1) ta có:
+) (log _aleft( b_1b_2 ight) = log _ab_1 + log _ab_2)
+) (log _aleft( dfracb_1b_2 ight) = log _ab_1 - log _ab_2)
+) (∀a,b >0, (a e 1),) (∀α) ta có:
(log _ab^alpha = alpha. log _ab)
(log _a oot n of b = dfrac1n.log _ab)
Ví dụ: Tính (A = log _2dfrac152 - 2log _2sqrt 3 ).
Ta có:
(eginarraylA = log _2dfrac152 - 2log _2sqrt 3 \,,,,, = log _215 - log _22 - 2.dfrac12log _23\,,,,, = log _2left( 3.5 ight) - 1 - log _23\,,,,, = log _23 + log _25 - 1 - log _23\,,,,, = log _25 - 1endarray)
4) Đổi cơ số: rất có thể chuyển các phép lấy lôgarit theo mọi cơ số khác nhau về việc tính lôgarit theo cùng một cơ số chung, rõ ràng là
(∀a,b,c >0 , (a, c e1)), (log _ab = dfraclog _cb log _ca).
Đặc biệt (∀a,b >0 , (a,b e1) , log _ab = dfrac1log _ba)
(∀a,b >0 , (a e1), ∀α, β, (α e 0)) ta có:
(log _a^alpha b = dfrac1alpha log _ab)
(log _a^alpha b^eta = dfraceta alpha log _ab)
(log _adfrac1b = - log _ableft( 0 0 ight))
(log _asqrt
(log _ab.log _bc = log _ac Leftrightarrow log _bc = dfraclog _aclog _ab) (left( 0 0 ight))
(log _ab = dfrac1log _ba Leftrightarrow log _ab.log _ba = 1) (left( 0 0;n e 0 ight))
Ví dụ: Tính (B = 3log _812 - 2log _23 + 12log _16sqrt<3>3)
Ta có:
(eginarraylB = 3log _812 - 2log _23 + 12log _16sqrt<3>3\,,,,, = 3log _2^312 - 2log _23 + 12.log _2^4sqrt<3>3\,,,,, = 3.dfrac13log _212 - 2log _23 + 12.dfrac14log _2sqrt<3>3\,,,,, = log _212 - 2log _23 + 3log _2sqrt<3>3\,,,,, = log _212 - log _23^2 + log _2left( sqrt<3>3 ight)^3\,,,,, = log _212 - log _29 + log _23\,,,,, = log _2dfrac12.39\,,,,, = log _24\,,,,, = log _22^2\,,,,, = 2endarray)
Hệ quả:
a) giả dụ (a > 1;b > 0) thì (log _ab > 0 Leftrightarrow b > 1;) (log _ab 0) thì (log _ab 1;) (log _ab > 0 Leftrightarrow 0 0) thì (log _ab = log _ac Leftrightarrow b = c).
Xem thêm: Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Lớp 10 Có Lời Giải, Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Và Giải
Chú ý:
Logarit thập phân (log _10b = log bleft( = lg b ight)) có khá đầy đủ tính chất của logarit cơ số (a).