Bài viết trình diễn các dạng toán thường gặp mặt và phương pháp tìm nguyên hàm của những hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ), đấy là dạng toán rất thông dụng trong công tác Giải tích 12 chương 3.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn
Để tra cứu nguyên hàm của các hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ) ta nên linh hoạt lựa lựa chọn 1 trong các phương thức cơ phiên bản sau:1. Phương thức tam thức bậc hai.2. Cách thức phân tích.3. Phương thức đổi biến.4. Phương thức nguyên hàm từng phần.5. áp dụng các phương thức khác nhau.Sau đây chúng ta cùng đi chú ý từng dạng.
Dạng toán 1: search nguyên hàm các hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ) dựa vào tam thức bậc hai.Trên cửa hàng đưa tam thức bậc hai về dạng bao gồm tắc với dùng những công thức sau:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight|$ $ + C.$
Ví dụ 1: tra cứu nguyên hàm các hàm số cất căn thức sau:a) $int fracxdxsqrt x^2 + 1 .$b) $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x .$
a) Ta hoàn toàn có thể lựa chọn những cách trình bày sau:Cách 1: Ta vươn lên là đổi: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdleft( x^2 + 1 ight)2sqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 2: Đặt $u = x^2 + 1$, suy ra: $du = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = frac12du.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 3: Đặt $u = sqrt x^2 + 1 $, suy ra: $u^2 = x^2 + 1$ $ Rightarrow 2udu = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = udu.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 = int fracuduu $ $ = int du = u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$b) Ta rất có thể lựa chọn những cách trình diễn sau:Cách 1: Ta biến chuyển đổi: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdleft( 2x^2 + 2x ight)2sqrt 2x^2 + 2x $ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 2: Đặt $u = 2x^2 + 2x$, suy ra: $du = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = frac12du.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 3: Đặt: $u = sqrt 2x^2 + 2x $, suy ra: $u^2 = 2x^2 + 2x$ $ Rightarrow 2udu = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = udu.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracuduu $ $ = int d u = u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm những hàm số cất căn thức sau:a) $f(x) = frac1sqrt x^2 – a .$b) $f(x) = frac1sqrt x^2 – x – 1 .$
a) Đặt $t = x + sqrt x^2 – a $, suy ra: $dt = left( 1 + fracxsqrt x^2 – a ight)dx$ $ = fracsqrt x^2 – a + xsqrt x^2 – a dx$ $ = fractdxsqrt x^2 – a $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – a = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – a $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x + sqrt x^2 – a ight| + C.$b) Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:Cách 1: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12$ $ Rightarrow dt = dx.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtsqrt t^2 – frac54 $ $ = ln left| t + sqrt t^2 – frac54 ight| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$Cách 2: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 $, suy ra: $dt = left( 1 + frac2x – 12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = left( 1 + fracx – frac12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = fracleft( sqrt x^2 – x – 1 + x – frac12 ight)dxsqrt x^2 – x – 1 $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – x – 1 = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$
Ví dụ 3: Biết rằng $int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$ search nguyên hàm: $I = int sqrt x^2 + 3 dx.$
Sử dụng phương thức nguyên hàm từng phần bằng phương pháp đặt:$left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 3 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxsqrt x^2 + 3 dx\v = xendarray ight.$Khi đó: $I = xsqrt x^2 + 3 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 – int fracleft( x^2 + 3 – 3 ight)dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 $ $ – int sqrt x^2 + 3 dx$ $ + int frac3dxsqrt x^2 + 3 .$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 3 $ $ + 3ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$$ Leftrightarrow I = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$Chú ý: Với những em học sinh đã kinh nghiệm trong việc tính nguyên hàm rất có thể trình bày theo phong cách sau:$sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot frac2x^2 + 6sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( sqrt x^2 + 3 + fracx^2sqrt x^2 + 3 ight)$ $ + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 .$Khi đó: $I = frac12int left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime dx$ $ + frac32int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$
Ví dụ 4: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^2sqrt x^2 + 1 .$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int left( sqrt x^2 + 1 – frac1sqrt x^2 + 1 ight)dx $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx$ $ – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight|$ $ – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C$ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ – frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$
Dạng 2: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – ax + a $, với $a > 0.$ Ta rất có thể lựa lựa chọn 1 trong hai cách sau:Cách 1: bởi điều kiện: $fracx – ax + a ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge a\x endarray ight.$ nên ta xét nhị trường hợp:Trường thích hợp 1: Với $x ge a$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 – aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = sqrt x^2 – a^2 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Trường phù hợp 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = – int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 $ $ + aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – sqrt x^2 – a^2 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Cách 2: Đặt: $t = sqrt fracx – ax + a $ $ Rightarrow t^2 = fracx – ax + a$ $ Rightarrow x = fracaleft( 1 + t^2 ight)1 – t^2$ $ Rightarrow dx = frac4atdtleft( 1 – t^2 ight)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac4at^2dtleft( 1 – t^2 ight)^2 $ $ = 4aint fracleft< left( t^2 – 1 ight) + 1 ight>dtleft( t^2 – 1 ight)^2 $ $ = 4aleft< underbrace int fracdtt^2 – 1 _I_1 + underbrace int fracdtleft( t^2 – 1 ight)^2 _1_2 ight>.$Các nguyên hàm $I_1$ và $I_2$ họ đã biết phương pháp giải.
Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – 1x + 1 .$
Vì điều kiện $fracx – 1x + 1 ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge 1\x endarray ight.$, ta xét nhì trường hợp:Trường hòa hợp 1: Với $x ge 1$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 – int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = sqrt x^2 – 1 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$Trường đúng theo 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = – int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 + int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = – sqrt x^2 – 1 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$
Dạng 3: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracdxsqrt ax + b + sqrt ax + c $, với $a e 0$ và $b – c e 0.$ Khử tính vô tỉ ở chủng loại số bằng cách trục căn thức, ta được:$I = frac1b – cint (sqrt ax + b + sqrt ax + c ) dx$ $ = frac1a(b – c)left< int (ax + b)^1/2 d(ax + b) + int (ax + c)^1/2 d(ax + c) ight>$ $ = frac23a(b – c)left< sqrt (ax + b)^3 + sqrt (ax + c)^3 ight> + C.$
Ví dụ 1: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 .$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 ight) dx$ $ = int fracsin xdxcos x $ $ + int fracsqrt 2x + 1 – sqrt 2x – 1 2 dx$ $ = – ln |cos x|$ $ + frac13left< (2x + 1)^3/2 – (2x – 1)^3/2 ight> + C.$
Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac2xx + sqrt x^2 – 1 .$
Ta hoàn toàn có thể lựa chọn 1 trong hai bí quyết giải sau:Cách 1: (Sử dụng phương thức biến đổi): Ta có:$int f (x)dx$ $ = int frac2xx + sqrt x^2 – 1 dx$ $ = int frac2xleft( x – sqrt x^2 – 1 ight)x^2 – x^2 + 1 dx$ $ = int 2 x^2dx – int 2 xsqrt x^2 – 1 dx$ $ = frac23x^3 – int sqrt x^2 – 1 dleft( x^2 – 1 ight) + C$ $ = frac23x^3 – frac23sqrt left( x^2 – 1 ight)^3 + C.$Cách 2: (Sử dụng phương thức đổi biến hóa số): Đặt $t = x + sqrt x^2 – 1 $ ta có:$t – x = sqrt x^2 – 1 $ $ Rightarrow x = fract^2 + 12t$ $ Rightarrow dx = fract^2 – 12t^2dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int frac2xdxx + sqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2 cdot fract^2 + 12t cdot fract^2 – 12t^2dtt $ $ = int fracleft( t^4 – 1 ight)dt2t^4 $ $ = frac12int left( 1 – frac1t^4 ight) dt$ $ = frac12left( t + frac13t^3 ight) + C$ $ = frac12left( x + sqrt x^2 – 1 ight)$ $ + frac16left( x + sqrt x^2 – 1 ight)^3 + C.$
Dạng 4: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ) bằng phương pháp sử dụng các đồng điệu thức.Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracxsqrt<10>x + 1.$
Sử dụng đồng nhất thức $x = x + 1 – 1$, ta được: $f(x) = fracx + 1 – 1sqrt<10>x + 1$ $ = (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10 ight> dx$ $ = frac1019(x + 1)^19/10$ $ – frac109(x + 1)^9/10 + C.$
Dạng 5: tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracv(x)dxsqrt u^2(x) pm alpha .$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Phân tích: $fracv(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ = fracaleft< u^2(x) + alpha ight>sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fracbu(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fraccsqrt u^2(x) + alpha .$Sử dụng cách thức hằng số cô động ta xác định được $a,b,c.$Bước 2: Áp dụng những công thức:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a $ $ = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$
Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x .$
Ta có: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = frac2x^2 + 1sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracaleft< (x + 1)^2 – 1 ight>sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fracb(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fraccsqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracax^2 + (2a + b)x + b + csqrt x^2 + 2x .$Đồng tốt nhất đẳng thức, ta được:$left{ eginarray*20la = 2\2a + b = 0\b + c = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 2\b = – 4\c = 5endarray ight.$Khi đó: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = 2sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 .$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< 2sqrt (x + 1)^2 – 1 – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 ight> dx$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ – ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x $ $ + 5ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight| + C$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ + 4ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x + C.$
Dạng 6: (Phương pháp đổi biến) kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt (x + a)(x + b) .$ Ta xét hai trường hợp:Trường thích hợp 1: Với: $left{ eginarray*20lx + a > 0\x + b > 0endarray
ight.$Đặt $t = sqrt x + a + sqrt x + b $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x + a + frac12sqrt x + b
ight)dx$ $ = frac(sqrt x + a + sqrt x + b )dx2sqrt (x + a)(x + b) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x + a)(x + b) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x + a + sqrt x + b | + C.$Trường vừa lòng 2: Với: $left{ {eginarray*20l{x + a x + b endarray
ight.$Đặt $t = sqrt – (x + a) + sqrt – (x + b) $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt – (x + a) – frac12sqrt – (x + b)
ight>dx$ $ = – frac
Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt x^2 – 5x + 6 .$
Biến thay đổi $I$ về dạng: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) .$Ta xét hai trường hợp:Trường đúng theo 1: Với: $left{ eginarray*20lx – 2 > 0\x – 3 > 0endarray
ight.$ $ Leftrightarrow x > 3.$Đặt $t = sqrt x – 2 + sqrt x – 3 $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x – 2 + frac12sqrt x – 3
ight)dx$ $ = frac(sqrt x – 2 + sqrt x – 3 )dx2sqrt (x – 2)(x – 3) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x – 2 + sqrt x – 3 | + C.$Trường thích hợp 2: Với $left{ {eginarray*20l{x – 2 x – 3 endarray
ight.$ $ Leftrightarrow x Đặt $t = sqrt 2 – x + sqrt 3 – x $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt 2 – x – frac12sqrt 3 – x
ight>dx$ $ = – frac
Dạng 7: (Phương pháp đổi biến): tra cứu nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 – x^2 ight)dx$ với $a > 0.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20la\x = endarray ight.$ (hoặc bao gồm thể $t = x + sqrt a^2 – x^2 $).Bước 2: câu hỏi được gửi về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^3sqrt 1 – x^2 .$
Ta rất có thể trình bày theo hai bí quyết sau:Cách 1: Đặt $x = sin t$, $ – fracpi 2 lúc đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int (3sin t – sin 3t) dt$ $ = – frac34cos t + frac112cos 3t + C$ $ = – frac34cos t + frac112left( 4cos ^3t – 3cos t ight) + C$ $ = frac13cos ^3t – cos t + C$ $ = left( frac13cos ^2t – 1 ight)cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – sin ^2t ight) – 1 ight>cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – x^2 ight) – 1 ight>sqrt 1 – x^2 + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$Chú ý: trong những giải trên ta có: $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\cos t = sqrt 1 – sin ^2t = sqrt 1 – x^2 endarray ight.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 – x^2 $, suy ra: $x^2 = 1 – t^2$, trường đoản cú đó: $2xdx = – 2tdt$ và $fracx^3dxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracx^2xdxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracleft( 1 – t^2 ight)( – tdt)t$ $ = left( t^2 – 1 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int left( t^2 – 1 ight) dt$ $ = frac13t^3 – t + C$ $ = frac13left( t^2 – 3 ight)t + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$
Dạng 8: (Phương pháp đổi biến) kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 + x^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta triển khai theo các bước sau:Bước 1: Đặt $left< {eginarray*20l{x = |a| an t: mvới: – fracpi 2 cot t: mvới:0 endarray ight.$ (hoặc gồm thể $t = x + sqrt a^2 + x^2 $).Bước 2: vấn đề được chuyển về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt 1 + x^2 .$
Ta hoàn toàn có thể trình bày theo hai giải pháp sau:Cách 1: Đặt $x = an t$, $ – fracpi 2 lúc đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtcos ^3t $ $ = int fraccos tdtcos ^4t $ $ = int fraccos tdtleft( 1 – sin ^2t ight)^2 .$Đặt $u = sin t$, suy ra: $du = cos tdt$ và $frac m cos tdt m left( 1 – sin ^2t ight)^2$ $ = fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2 $ $ = frac14left< fracu + 1u – 1 ight ight> + C$ $ = frac14left< fracsin t + 1sin t – 1 ight ight> + C$ $ = frac14left< fracfracxsqrt 1 + x^2 + 1fracxsqrt 1 + x^2 – 1 ight ight> + C$ $ = frac14left( + 2xsqrt 1 + x^2 ight) + C$ $ = frac14left( 2ln left ight) + C$ $ = frac12left( x + sqrt 1 + x^2 ight ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = x + sqrt 1 + x^2 $, suy ra: $t – x = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow (t – x)^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow x = fract^2 – 12t.$$ Rightarrow sqrt 1 + x^2 $ $ = t – fract^2 – 12t$ $ = fract^2 + 12t.$$ Rightarrow dt = left( 1 + fracxsqrt 1 + x^2 ight)dx$ $ = fracx + sqrt 1 + x^2 sqrt 1 + x^2 dx$ $ = frac2t^2t^2 + 1dx$ $ Leftrightarrow dx = fract^2 + 12t^2dt$, $sqrt 1 + x^2 dx$ $ = fract^2 + 12t cdot fract^2 + 12t^2dt$ $ = frac14fracleft( t^2 + 1 ight)^2t^3dt$ $ = frac14left( t + frac2t + frac1t^3 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int left( t + frac2t + frac1t^3 ight) dt$ $ = frac14left( – frac12t^2 ight) + C$ $ = frac18left< left( t^2 – frac1t^2 ight) + 4ln ight> + C$ $ = frac18left< ight> + C$ $ = frac12left( + xsqrt 1 + x^2 ight) + C.$Cách 3: (Sử dụng cách thức tích phân từng phần).Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 1 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + 1 \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + 1 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 .$Trong đó: $int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = I – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + 1 $ $ – left( I – aln left ight).$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 1 + ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$$ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + 1 + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Chú ý:1. Trong bí quyết giải đầu tiên sở dĩ ta có: $sqrt 1 + x^2 = frac1cos t$ và $sin t = fracxsqrt 1 + x^2 $ là bởi $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\sin t = an t.cos t = fracxsqrt 1 + x^2 endarray ight.$2. Cả ba phương pháp trên (tốt tuyệt nhất là phương pháp 2) được áp dụng để tìm các nguyên hàm:$int sqrt x^2 + a dx$ $ = fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight|$ $ + fracx2sqrt x^2 + a + C.$$int fracdxsqrt x^2 + a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$3. Cùng với nguyên hàm $int fracdxsqrt left( a^2 + x^2 ight)^2k + 1 $, với $k in Z$ rất tốt là sử dụng phương thức 1.4. Cùng với nguyên hàm $I = int sqrt (x + a)(x + b) dx$ ta có thể thực hiện tại như sau:Đặt $t = x + fraca + b2$ và $A = – frac(b – a)^24$, suy ra: $dt = dx$ và $sqrt (x + a)(x + b) dx$ $ = sqrt t^2 + A dt.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + A dt$ $ = fracA2ln left| t + sqrt t^2 + A ight|$ $ + fract2sqrt t^2 + A + C$ $ = – frac(b – a)^28ln left| x + fraca + b2 + sqrt (x + a)(x + b) ight|$ $ + frac2x + a + b4sqrt (x + a)(x + b) + C.$
Dạng 9: (Phương pháp thay đổi biến): tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt x^2 – a^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta triển khai theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20lx = fracsin t: mvới:t in left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>ackslash 0 \x = fracacos t: mvới:t in <0,pi >ackslash left fracpi 2 ight\endarray ight.$ (hoặc tất cả thể $t = sqrt x^2 – a^2 .$Bước 2: việc được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 .$
Ta rất có thể trình bày theo hai biện pháp sau:Cách 1: Đặt $t = sqrt x^2 – 1 $ thì $t^2 = x^2 – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = fracxdx2left( x^2 – 1 ight) + 3sqrt x^2 – 1 + 1$ $ = frac m tdt m 2t^2 + 3t + 1.$Khi đó: $int f (x)dx = int fractdt2t^2 + 3t + 1 .$Ta có: $frac12t^2 + 3t + 1$ $ = fract(2t + 1)(t + 1)$ $ = fraca2t + 1 + fracbt + 1$ $ = frac(a + 2b)t + a + b(2t + 1)(t + 1).$Đồng tuyệt nhất đẳng thức, ta được: $left{ eginarray*20la + 2b = 1\a + b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = – 1\b = 1endarray ight.$Khi đó: $fract2t^2 + 3t + 1$ $ = – frac12t + 1 + frac1t + 1.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left( – frac12t + 1 + frac1t + 1 ight) dt$ $ = – frac12ln |2t + 1| + ln |t + 1| + C$ $ = frac12ln frac(t + 1)^2 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Cách 2: bởi điều kiện $|x| > 1$, ta xét nhị trường hợp:Trường đúng theo 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = frac1cos t$, $t in left< 0;fracpi 2 ight)$ suy ra $dx = fracsin tdtcos ^2t.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = int fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = int fracfrac1cos t cdot fracsin tcos ^2tdtfrac2cos ^2t – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2left( 1 + an ^2t ight) – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2 an ^2t + 3 an t + 1 .$Đặt $u = an t$ suy ra: $du = fracdtcos ^2t = left( 1 + an ^2t ight)dt.$Khi đó: $I = int fracudu2u^2 + 3u + 1 $ $ = int left( – frac12u + 1 + frac1u + 1 ight) du$ $ = – frac12ln |2u + 1| + ln |u + 1| + C$ $ = frac12ln frac(u + 1)^22u + 1 + C$ $ = frac12ln frac( an t + 1)^22 an t + 1 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Trường hòa hợp 2: Với $x Dạng 10: (Phương pháp thay đổi biến) search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt (x – a)(b – x) ight)dx.$Ta triển khai theo quá trình sau:Bước 1: Đặt $x = a + (b – a)sin ^2t.$Bước 2: vấn đề được gửi về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt <(x – a)(b – x)>^3 $ với $a lúc đó: $int f (x)dx$ $ = frac1(b – a)^2int fracdtsin ^22t $ $ = – fraccot 2t2(b – a)^2 + C$ $ = – fraca + b – 2x2sqrt (x – a)(b – x) + C.$
Dạng 11: (Phương pháp thay đổi biến): tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt ax^2 + bx + c ight)dx.$Ta có thể lựa lựa chọn 1 trong hai giải pháp sau:Cách 1: (Đưa $I$ về những dạng nguyên hàm cơ phiên bản đã biết): Ta xét các trường hòa hợp sau:Trường hòa hợp 1: Nếu $a > 0$ và $Delta Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 + left( frac2ax + bsqrt – Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: triển khai phép đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt – Delta .$Bước 3: việc được gửi về $I = int S left( t,sqrt 1 + t^2 ight)dt.$Trường phù hợp 2: Nếu $a 0$ thì ta triển khai theo các bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 – left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: thực hiện phép thay đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: câu hỏi được gửi về $I = int S left( t,sqrt 1 – t^2 ight)dt.$Trường vừa lòng 3: Nếu $a > 0$ và $Delta > 0$ thì ta tiến hành theo những bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = fracDelta 4aleft< left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 – 1 ight>.$Bước 2: tiến hành phép vươn lên là đổi: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: vấn đề được đưa về $I = int S left( t,sqrt t^2 – 1 ight)dt.$Cách 2: (Sử dụng phép rứa Euler): Ta xét những trường vừa lòng sau:1. Nếu $a > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = t – xsqrt a $ hoặc $t + xsqrt a .$2. Nếu $c > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tx + sqrt c $ hoặc $tx – sqrt c .$3. Nếu tam thức $ax^2 + bx + c$ bao gồm biệt số $Delta > 0$ thì: $ax^2 + bx + c$ $ = aleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight).$ khi đó đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tleft( x – x_1 ight).$
Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + 2x + 2 .$
Sử dụng phép đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + 1 dt.$ Tích phân này họ biết biết phương pháp xác định.
Dạng 12: tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracdx(lambda x + mu )sqrt ax^2 + bx + c .$Ta triển khai theo quá trình sau:Bước 1: Đặt $t = frac1lambda x + mu .$Bước 2: bài toán được đưa về $I = int fracdtsqrt alpha t^2 + eta t + gamma .$Chú ý: phương thức trên có thể được áp dụng cho dạng tổng quát hơn là: $I = int frac(Ax + B)dx(lambda x + mu )^nsqrt ax^2 + bx + c .$
Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 .$
Đặt $t = frac1x + 1$ thì $x = frac1t – 1$ suy ra: $dx = – frac1t^2dt$, $fracdx(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 $ $ = fractleft( – frac1t^2 ight)dtsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – fracdttsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = left{ {eginarray*20l – fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t > 0\fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t endarray ight.$Khi đó ta xét nhì trường hợp:Trường đúng theo 1: với $t>0$, ta được: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$Trường phù hợp 2: Với $t tóm lại với $t e 0 Leftrightarrow x e – 1$ ta luôn có: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$
Dạng 13: (Phương pháp thay đổi biến): tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt
Dạng 14: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracP(x)Q(x) cdot fracdxy$, vào đó $y = sqrt ax^2 + bx + c .$Ta triển khai theo các bước sau:Bước 1: so với hàm hữu tỉ $fracP(x)Q(x)$ thành các phân số về tối giản.Bước 2: gạn lọc các phương thức phù hợp cho mỗi tích phân mới.
Xem thêm: Soạn Bài Luyện Tập Xây Dựng Bài Tự Sự Kể Chuyện Đời Thường " Lớp 6 Hay Nhất
Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac6x^3 + 8x + 1left( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 .$
Ta có: $frac6x^3 + 8x + 13x^2 + 4$ $ = 2x + frac13x^2 + 4.$Do đó: $I = int f (x)dx$ $ = int left( 2x + frac13x^2 + 4 ight) frac1sqrt x^2 + 1 dx$ $ = underbrace int fracxdxsqrt x^2 + 1 _I_1$ $ + underbrace int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 _I_2.$Trong đó: $I_1 = int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x_.^2 + 1 + C.$Với $I_2$ ta triển khai phép thay đổi biến $t = fracxsqrt x^2 + 1 $ thì $x^2 = fract^21 – t^2$ suy ra: $dt = fracdxleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 .$Khi đó: $I_2 = int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 dtleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = smallint fracleft( fract^21 – t^2 + 1 ight)dtfrac3t^21 – t^2 + 4$ $ = int fracdt4 – t^2 $ $ = – frac14ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fract + 2t – 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = sqrt x^2 + 1 $ $ + frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$
Dạng 15: cách thức nguyên hàm từng phần.Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + a .$
Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + a \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + a \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + a – underbrace int fracx^2dxsqrt x^2 + a _J.$Biến thay đổi $J$ như sau: $J = int fracx^2dxsqrt x^2 + a $ $ = int fracleft< left( x^2 + a ight) – a ight>dxsqrt x^2 + a $ $ = int sqrt x^2 + a dx – aint fracdxsqrt x^2 + a $ $ = I – aln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + a $ $ – left( x + sqrt x^2 + a ight ight)$ $ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + a $ $ + fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$