Công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác – tìm kiếm nguyên hàm của hàm số

1. Một số trong những công thức lượng giác bắt buộc nhớ

Hằng đẳng thức lượng giác: $sin ^2x+cos ^2x=1;frac1sin ^2x=1+cot ^2x;frac1cos ^2x=1+ an ^2x$

- công thức cộng: $eginarray sin left( apm b ight)=sin a.cos bpm sin boperatornamecosb \ cos left( apm b ight)=cos a.cos bmp sin a.cos b \ an left( apm b ight)=frac an apm an b1mp an a. an b \ endarray$

- cách làm nhân đôi: $left{ eginarray sin 2a=2sin acos a \ cos 2a=cos ^2a-sin ^2a=2cos ^2a-1=1-2sin ^2a \ endarray ight.$

- công thức hạ bậc: $sin ^2a=frac1-cos 2a2;cos ^2a=frac1+cos 2a2$

- bí quyết nhân ba: $left{ eginarray sin 3a=3sin a-4sin ^3a \ cos 3a=4cos ^3a-3cos a \ endarray ight.$

- Công thức biến hóa tích thành tổng: $cos a.cos b=frac12left< cos left( a+b ight)+cos left( a-b ight) ight>$

$sin .asin b=frac12left< cos left( a-b ight)-cos left( a+b ight) ight>;sin a.cos b=frac12left< sin left( a+b ight)+sin left( a-b ight) ight>$

2. Một trong những nguyên các chất giác cơ bản

$eginarray I_1=intsin xdx=-cos x+C \ I_2=intsin left( ax ight)dx=-frac1acos left( ax ight)+C \ I_3=intcos xdx=sin x+C \ I_4=intcos left( ax ight)dx=frac1asin left( ax ight)+C \ I_5=intsin ^2xdx=intfrac1-cos 2x2dx=fracx2-fracsin 2x4+C \ I_6=intcos ^2xdx=intfrac1+cos 2x2dx=fracx2+fracsin 2x4+C \ I_7=intfracdxcos ^2x= an x+C \ I_8=intfracdxcos ^2left( ax ight)=frac1a an left( ax ight)+C \ I_9=intfracdxsin ^2left( ax ight)=-cot x+C \ I_10=intfracdxsin ^2left( ax ight)=-frac1acot left( ax ight)+C \ I_11=int an xdx=int cos x ight \ I_12=intcot xdx=int sin x ight \ I_13=int an ^2xdx=intleft( frac1cos ^2x-1 ight)dx= an x-x+C \ I_14=intcot ^2xdx=intleft( frac1sin ^2x-1 ight)dx=cot x-x+C \ endarray$

3. Những dạng nguyên hàm vị giác thường gặp

Dạng 1: Nguyên hàm $I=intsin ^mx.cos^nxdx$

- TH1: giả dụ $m=2k+1Rightarrow I=intsin ^2kx.cos ^nx.sin xdx$

$=-intleft( 1-cos ^2x ight)^k.cos ^nxdleft( cos x ight) o $ Đặt $t=cos x$

- TH2: nếu $n=2k+1 o $ Đặt $t=operatornames extinx$

- TH3: ví như m,n những chẵn ta dùng công thức hạ bậc

Chú ý: Đối cùng với nguyên hàm chỉ đựng sinx và cosx dạng.

$I=intfleft( sin x ight)cos xdx=intfleft( sin x ight)dleft( sin x ight) o $ Đặt $t=operatornames extinx$

$I=intfleft( cos x ight)sin xdx=-intfleft( cos x ight)dleft( cos x ight) o $ Đặt $t=cos extx$


Dạng 2: Nguyên hàm $I=intfracdxsin ^mx.cos ^nx$

- TH1: ví như $m=2k+1Rightarrow I=intfracsin xdxsin ^2k+2x.cos ^nx=-intfracdleft( cos x ight)left( 1-cos ^2x ight)^k+1.cos ^nx$

Khi kia ta đặt: $t=cos x$

- TH2: nếu $n=2k+1 o $ ta đặt $t=operatornames extinx$

- TH3: trường hợp m,n đa số chẵn ta đổi khác $frac1sin ^mx.cos ^nx=fracsin ^2x+cos ^2xsin ^mx.cos ^nx...$

Dạng 3: Nguyên hàm vị giác của hàm tanx với cotx

Các nguyên hàm cất tanx giỏi cotx ta hay được dùng các hằng đẳng thức

$frac1sin ^2x=1+cot ^2x;frac1cos ^2x=1+ an ^2x$

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp và sang trọng bậc nhì với sinx và cosx;

$Asin ^2x+Bsin xcos +Ccos ^2x$ thì ta chia cả tử số và mẫu số mang lại $cos ^2x$

Chú ý: Khi $I=intfracfleft( an ,x ight)cos ^2xdx=intfleft( an ,x ight)dleft( an ,x ight) o $ để t=tanx

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến hóa tích thành tổng

$eginarray intcos ax.cos bxdx=frac12intleft< cos left( a+b ight)x+cos left( a-b ight)x ight>dx \ intsin ax.sinbxdx=-frac12intleft< cos left( a+b ight)x-cos left( a-b ight)x ight>dx \ intsin ax.cos bxdx=frac12intleft< sin left( a+b ight)x+sin left( a-b ight)x ight>dx \ intcos ax.sinbxdx=frac12intleft< sin left( a+b ight)x-sin left( a-b ight)x ight>dx \ endarray$

Dạng 5: Nguyên hàm $I=intfracdxasin x+bcos x+c$

Ta có: $I=intfracdx2asin fracx2cos fracx2+bleft( cos ^2fracx2-sin ^2fracx2 ight)+cleft( sin ^2fracx2+cos ^2fracx2 ight)$

$eginarray intfracdxmsin ^2fracx2+nsin fracx2cos fracx2+pcos ^2fracx2=intfracdxcos ^2fracx2left( m an ^2fracx2+n an fracx2+p ight) \ xrightarrowt= an fracx2I=intfracdtmt^2+nt+p \ endarray$