Giúp học sinh nắm vững cách làm một số ít dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số tất cả dạng đa thức trên nhiều thức
Giúp học sinh nắm vững giải pháp làm một số ít dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số có dạng đa thức trên đa thức
NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ
1. Phương pháp
Giả sử nên tính $I=intfracPleft( x ight)Qleft( x ight)dx$ (trong kia $Pleft( x ight);,Qleft( x ight)$ là phần đông đa thức của $x$). Ta có hai trường hợp:
a) Bậc của $Pleft( x ight)$ nhỏ dại hơn bậc của $Qleft( x ight)$. Xét các tài năng sau (ở phía trên ta xét $Qleft( x ight)$ là nhiều thức bậc 3, những trường hợp khác làm cho tương tự):
• $Qleft( x
ight)$ có các nghiệm 1-1 khác nhau, mang sử $Qleft( x
ight)=left( x-a
ight)left( x-b
ight)left( x-c
ight)$. Lúc đó ta kiếm tìm $A$, $B$, $C$ thế nào cho $fracPleft( x
ight)Qleft( x
ight)=fracAx-a+fracBx-b+fracCx-c$.
Bạn đang xem: Nguyên hàm hữu tỉ
• $Qleft( x ight)$ tất cả nghiệm đối kháng và nghiệm kép, $Qleft( x ight)=left( x-a ight)left( x-b ight)^2$. Lúc đó ta tra cứu $A$, $B$, $C$ làm sao để cho $fracPleft( x ight)Qleft( x ight)=fracAx-a+fracBx-b+fracCleft( x-b ight)^2$
• $Qleft( x ight)$ bao gồm một nghiệm đơn, $Qleft( x ight)=left( x-a ight)left( x^2+px+q ight),,left( p^2-4q
b) Bậc của $Pleft( x
ight)$ lớn hơn hoặc bởi bậc của $Qleft( x
ight)$.
Xem thêm: Tìm Driver Broadcom Ush Là Gì, How To Fix Dell Broadcom Ush Driver Problems
Khi đó ta rước $Pleft( x
ight)$ phân chia cho $Qleft( x
ight)$ và quay về trường hợp a).
2. Bài xích tập áp dụng:
Tìm các nguyên hàm.
• $I=intfrac6x^2+10x+2x^3+3x^2+2xdx=intfrac6x^2+10x+2left( x+1 ight)left( x+2 ight)xdx$
Ta tra cứu $A,,B,,C$ sao cho:
$frac6x^2+10x+2xleft( x+1 ight)left( x+2 ight)=fracAx+fracBx+1+fracCx+2$
$Rightarrow 6x^2+10x+2=Aleft( x+1 ight)left( x+2 ight)+Bxleft( x+2 ight)+Cxleft( x+1 ight)$
$Rightarrow 6x^2+10x+2=left( A+B+C ight)x^2+left( 3A+2B+C ight)x+2A$
Từ đó:
$I=intleft( frac1x+frac2x+1+frac3x+2 ight)dx=ln left| x ight|+2ln left| x+1 ight|+3ln left| x+2 ight|+C$
• $J=intfrac6x^2-26x+26x^3-6x^2+11x-6dx=intfrac6x^2-26x+26left( x-1 ight)left( x-2 ight)left( x-3 ight)dx$
Ta kiếm tìm $A,,B,,C$ sao cho:
$frac6x^2-26x+26left( x-1 ight)left( x-2 ight)left( x-3 ight)=fracAx-1+fracBx-2+fracCx-3$
$Rightarrow 6x^2-26x+26=Aleft( x-2 ight)left( x-3 ight)+Bleft( x-1 ight)left( x-3 ight)+Cleft( x-1 ight)left( x-2 ight)$
Cho $x$ giá trị lần lượt bởi 1, 2, 3 ta tìm kiếm được $A=3;,B=2;,C=1$
Từ đó:
$J=intleft( frac3x-1+frac2x-2+frac1x-3 ight)dx=3ln left| x-1 ight|+2ln left| x-2 ight|+ln left| x-3 ight|+C$
• $K=intfracx-8x^2-x-6dx=intfracx-8left( x+2 ight)left( x-3 ight)dx=intleft( frac2x+2-frac1x-3 ight)dx=2ln left| x+2 ight|-ln left| x-3 ight|+C$
•
Ta tìm $A,,B,,C$ sao cho:
Từ đó:
$L=intleft( frac1x+1+frac2x+2+frac3left( x+2 ight)^2 ight)dx=ln left| x+1 ight|+2ln left| x+2 ight|-frac3x+2+C$
• $M=intfrac2x^3-6x^2+4x-1x^2-3x+2dx=intleft( 2x-frac1x^2-3x+2 ight)dx=intleft( 2x-frac1left( x-1 ight)left( x-2 ight) ight)dx$
$=intleft( 2x-frac1x-2+frac1x-1 ight)dx=x^2-ln left| x-2 ight|+ln left| x-1 ight|+C$
• $N=intfrac3x^2-4x+2x^3-2x^2+2x+5dx=intfracdleft( x^3-2x^2+2x+5 ight)x^3-2x^2+2x+5=ln left| x^3-2x^2+2x+5 ight|+C$
Nguyên hàm dạng $I=intfracdxleft( x+a ight)^2left( x+b ight)^2$
Ta xét một vài ví dụ:
• $I=intfracdxleft( x+3 ight)^2left( x+1 ight)^2$
Ta phân tích:
$frac1left( x+3 ight)^2left( x+1 ight)^2=frac14left< fracleft( x+3 ight)-left( x+1 ight)left( x+3 ight)left( x+1 ight) ight>^2=frac14left( frac1x+1-frac1x+3 ight)^2$
$=frac14left< frac1left( x+1 ight)^2+frac1left( x+3 ight)^2-frac2left( x+1 ight)left( x+3 ight) ight>=frac14left< frac1left( x+1 ight)^2+frac1left( x+3 ight)^2+frac1x+3-frac1x+1 ight>$Từ đó:
$I=intleft< frac1left( x+1 ight)^2+frac1left( x+3 ight)^2+frac1x+3-frac1x+1 ight>dx$
$=-frac14.frac1x+1-frac14.frac1x+3+frac14ln left| x+3 ight|-frac14ln left| x+1 ight|+C$
•$J=intfracdxleft( x-3 ight)^2left( x+4 ight)^2$
Ta phân tích:
$frac1left( x-3 ight)^2left( x+4 ight)^2=frac149.left< fracleft( x+4 ight)-left( x-3 ight)left( x-3 ight)left( x+4 ight) ight>^2=frac149left< frac1left( x-3 ight)^2-frac2left( x-3 ight)left( x+4 ight)+frac1left( x+4 ight)^2 ight>$
Từ đó:
$J=frac149intfrac1left( x-3 ight)^2dx-frac149intfrac2left( x-3 ight)left( x+4 ight)dx+frac149intfrac1left( x+4 ight)^2dx$
$=-frac149.frac1x-3-frac149.frac1x+4-frac2343intleft( frac1x-3-frac1x+4 ight)dx$
$=-frac149.frac1x-3-frac149.frac1x+4-frac2343ln left| fracx-3x+4 ight|+C$
3.Bài tập tự luyện
1.$I=intfracdxleft( x+2 ight)^2left( x+7 ight)^2$Đáp án:$-frac125.frac1x+2-frac125.frac1x+7-frac2125ln left| fracx+2x+7 ight|+C$
2.$I=intfracdxleft( x-6 ight)^2left( x-9 ight)^2$Đáp án:$-frac19.frac1x-6-frac19.frac1x-9-frac227ln left| fracx-6x-9 ight|+C$
3.$I=intfracdxleft( x-4 ight)^2left( x+5 ight)^2$Đáp án:$-frac181.frac1x-4-frac181.frac1x+5-frac2729ln left| fracx-4x+5 ight|+C$
4.$I=intfracdxleft( x-2 ight)^2left( x+2 ight)^2$Đáp án:$-frac116.frac1x-2-frac116.frac1x+2-frac264ln left| fracx-2x+2 ight|+C$
5.$I=intfrac3x^2-12x+9x^3-6x^2+9x+5dx$ Đáp án:$ln left| x^3-6x^2+9x+7 ight|+C$
6.$I=intfrac3x^2+16x+14x^3+8x^2+14x+9dx$ Đáp án:$ln left| x^3+8x^2+14x+9 ight|+C$
7.$I=intfrac2x-3x^2-3x+2dx$ Đáp án:$ln left| x^2-3x+2 ight|+C$
8.$I=intfrac2x+11x^2+x-6dx$ Đáp án:$3ln left| x-2 ight|-ln left| x+3 ight|+C$
9.$I=intfracx^3+8x^2+21x+15x^3+5x^2+8x+4dx$ Đáp án:$ln left| x+1 ight|+2ln left| x+2 ight|+fracx-1x+2+C$
10.$I=intfracx-6x^2-7x+12dx$ Đáp án:$3ln left| x-3 ight|-2ln left| x-4 ight|+C$