Tóm tắt tổng thể lý thuyết về Vectơ: Định nghĩa vectơ, Độ nhiều năm vectơ, nhị vectơ cùng phương, bởi nhau, đối nhau, Phép cộng vectơ, Phép trừ vectơ, Phép nhân vectơ với một trong những thực.
Bạn đang xem: Nhân vecto
Và TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA nhì VECTO.
1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1 Định nghĩa vectơ
– Vectơ là 1 trong những đoạn thẳng định hướng.
– mỗi vectơ gồm một điểm đầu và một điểm cuối.
Vectơ có điểm là A và điểm cuối là B được kí hiệu là $ overrightarrowAB$
Quy ước: Vectơ gồm điểm đầu và điểm cuối trùng nhau là vectơ không. Kí hiệu: $ overrightarrow0$.
1.1.1 Độ nhiều năm vectơ
Độ lâu năm của vectơ là độ lâu năm của đoạn thẳng gồm hai đâù mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Độ dài của $ overrightarrowAB$ kí hiệu: $ left| overrightarrowAB ight|$.
1.1.2 nhì vectơ thuộc phương, bởi nhau, đối nhau
Hai vectơ thuộc phương nếu bọn chúng cùng nằm tại một con đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng:
Hai vectơ $ overrightarrowAB$,$ overrightarrowC extD$ thuộc hướng , kí hiệu:$ overrightarrowABuparrow uparrow overrightarrowC extD$.Hai vectơ ngược hướng, kí hiệu: $ overrightarrowABuparrow downarrow overrightarrowC extD$.Hai vectơ $ overrightarrowAB$, $ overrightarrowC extD$bằng nhau, kí hiệu: $ overrightarrowAB=overrightarrowC extD$.
$ overrightarrowAB=overrightarrowC extDLeftrightarrow left{ eginmatrixAB=C extD \overrightarrowABuparrow uparrow overrightarrowC extD \endmatrix ight.$
Hai vectơ $ overrightarrowAB$,$ overrightarrowC extD$ đối nhau, kí hiệu: $ overrightarrowAB=-overrightarrowC extD$.
$ overrightarrowAB=-overrightarrowC extDLeftrightarrow left{ eginmatrixAB=C extD \overrightarrowABuparrow downarrow overrightarrowC extD \endmatrix ight.$
2. CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
2.1 Phép cùng vectơ
– những quy tắc
+ Quy tắc bố điểm:
Với bố điểm A, B, C bất kì, ta luôn có:
$ overrightarrowAB+overrightarrowBC=overrightarrowAC$ (hệ thức Chasles)
+ nguyên tắc hình bình hành:
Nếu ABCD là hình bình hành thì
$ overrightarrowAB+overrightarrowA extD=overrightarrowAC$
– đặc thù của phép cộng vectơ
+ đặc điểm giao hoán: $ overrightarrowa+overrightarrowb=overrightarrowb+overrightarrowa$
+ đặc thù kết hợp: $ (overrightarrowa+overrightarrowb)+overrightarrowc=(overrightarrowa+(overrightarrowb+overrightarrowc)$
+ đặc thù của $ overrightarrow0$: $ overrightarrowa+overrightarrow0=overrightarrow0+overrightarrowa=overrightarrowa$
2.2 Phép trừ vectơ
– Ta có: $ overrightarrowa-overrightarrowb=overrightarrowa+(-overrightarrowb)$
– Quy tắc bố điểm đối với phép trừ vectơ
Cho vectơ $ overrightarrowAB$ với một điểm O bất kì, ta luôn luôn có:
$ overrightarrowAB=overrightarrowOB-overrightarrowOA$
2.3 Phép nhân vectơ với một trong những thực
– Định nghĩa: Tích của số thực k với cùng 1 vectơ $ overrightarrowa$ là 1 vectơ, kí hiệu: k$ overrightarrowa$
$ left| koverrightarrowa ight|=left| k ight|left| overrightarrowa ight|$
– Tính chất:
+ Phân phối đối với phép cộng vectơ: $ k(overrightarrowa+overrightarrowb)=koverrightarrowa+koverrightarrowb$
+ Phân phối so với phép cộng: $ (k+h)overrightarrowa=koverrightarrowa+hoverrightarrowa$
+ Kết hợp: $ k(hoverrightarrowa)=(k.h)overrightarrowa$
3. TỌA ĐỘ VECTƠ
3.1 Trục tọa độ
– Định nghĩa: Trục tọa độ là 1 đường trực tiếp trên kia đã khẳng định một điểm nơi bắt đầu O với một vectơ đơn vị chức năng $ overrightarrowi$ gồm độ dài bởi 1.
– Tọa độ của vectơ cùng của điểm bên trên trục: đến vectơ $ overrightarrowu=aoverrightarrowi$; a được hotline là tọa độ của vectơ $ overrightarrowu$ trên trục (O;$ overrightarrowi$).
Một điểm M nằm ở trục và $ overrightarrowOM=m.overrightarrowi$; m là tọa độ của M bên trên trục (O;$ overrightarrowi$).
3.2 Hệ trục tọa độ
– Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy gồm hai trrục Ox, Oy vuông góc với nhau với nhị vectơ đơn vị chức năng $ overrightarrowi$, $ overrightarrowj$ bao gồm độ dài bởi 1.
– Tọa độ của vectơ: Trong khía cạnh phẳng tọa độ Oxy thì với tất cả vectơ $ displaystyle overrightarrowu$, ta có:
$ overrightarrowu=u_1overrightarrowi+u_2overrightarrowj$
Cặp số (u1;u2) được điện thoại tư vấn là tọa độ của vectơ $ overrightarrowu$
Kí hiệu $ overrightarrowu$= (u1;u2)
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì:
$ overrightarrowAB=(x_B-x_A;y_B-y_A)$
– Tọa độ của một điểm: Trong phương diện phẳng tọa độ Oxy thì: $ overrightarrowOM=xoverrightarrowi+yoverrightarrowj$
$ Leftrightarrow $x, y là tọa độ của M, kí hiệu M(x;y).
4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA nhị VECTƠ
4.1 Định nghĩa: Tích vô vị trí hướng của hai vectơ $ overrightarrowa$, $ overrightarrowb$ là một trong số, kí hiệu là $ overrightarrowa.overrightarrowb$ được khẳng định bởi:
$ overrightarrowa.overrightarrowb=left| overrightarrowa ight|.left| overrightarrowb ight|.c extosleft( overrightarrowa,overrightarrowb ight)$
4.2 Hệ quả:
– Bình phương vô hướng của vectơ $ overrightarrowa$: $ overrightarrowa^2= overrightarrowa ight^2$
– Điều khiếu nại vuông góc của nhì vectơ: $ overrightarrowaot overrightarrowbLeftrightarrow overrightarrowa.overrightarrowb=0$
4.3 Tính chất
Với mọi $ overrightarrowa$, $ overrightarrowb$, $ overrightarrowc$ và số thực k:
– $ overrightarrowa.overrightarrowb=overrightarrowb.overrightarrowa;$
– $ (m.overrightarrowa).overrightarrowb=m(overrightarrowa.overrightarrowb);$
– $ overrightarrowa.(overrightarrowb+overrightarrowc)=overrightarrowa.overrightarrowb+overrightarrowa.overrightarrowc;$
4.4 Biểu thức tọa độ tích vô vị trí hướng của hai vectơ
Trong khía cạnh phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $ overrightarrowa(x_1;y_1)$, $ overrightarrowb(x_2;y_2)$.
Khi kia $ overrightarrowa.overrightarrowb=x_1.x_2+y_1.y_2$
Hệ quả:
– $ left| overrightarrowa ight|$=$ sqrtx_1^2+y_1^2$
– $ c extos(overrightarrowa,overrightarrowb)=fracoverrightarrowa.overrightarrowb=fracx_1.x_2+y_1.y_2sqrtx_1^2+y_1^2.sqrtx_2^2+y_2^2$
Sau khi tham gia học thuộc và ghi nhớ kim chỉ nan vectơ thì các em đọc tiếp các nội dung bài viết về ứng dụng của vectơ trong giải toán bên dưới đây:
– Ứng dụng của vectơ trong số bài toán đồng quy, thẳng hàng
– Ứng dụng của vetơ trong số bài toán vuông góc, tính góc
– Ứng dụng vetơ minh chứng hai điểm trùng nhau
– Ứng dụng của vectơ trong các bài toán quỹ tích điểm
– Ứng dụng của vectơ trong minh chứng bất đẳng thức
– Giải phương trình vô tỉ bằng cách thức vectơ
– thực hiện tích vô phía giải các bài toán cực trị
Và sau cuối là bài xích tập ý kiến đề xuất tự giải.
5. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ VỀ VECTƠ
1. đến $ Delta $ABC những cạnh bằng 6, M là vấn đề thuộc mặt đường tròn ngoại tiếp $ Delta $ABC. Đặt $ S=MA^2-MB^2-MC^2$.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
b) Tìm giá chỉ trị lớn nhất của S.
2. Cho $ Delta $ABC, G là giữa trung tâm và M là điểm tùy ý.
a) CMR vevtơ $ displaystyle overrightarrowv=overrightarrowMA+overrightarrowMB-2overrightarrowMC$, không nhờ vào vào địa điểm của M.
b) gọi O là trọng điểm đường tròn ngoại tiếp $ Delta $ABC, minh chứng rằng:
$ MA^2+MB^2-2MC^2=2overrightarrowMO.overrightarrowv$
c) tìm kiếm tập hợp hầu hết điểm M thỏa mãn nhu cầu $ MA^2+MB^2-2MC^2$=0.
Xem thêm: Soạn Bài Sự Sụp Đổ Của Chế Độ A-Pác-Thai, Tập Đọc Lớp 5 Sự Sụp Đổ Của Chế Độ A
Giả sử M di động trên phố tròn ngoại tiếp $ Delta $ABC, tìm địa điểm của M nhằm $ MA^2+MB^2-2MC^2$ đạt giá bán trị béo nhất, nhỏ dại nhất.