cách thức giải hệ phương trình Giải hệ phương trình chăm đề luyện thi Đại học tập môn Toán Ôn tập môn Toán câu hỏi hệ phương trình năng lực giải toán phương trình


Bạn đang xem: Phương trình luyện thi đại học

*
pdf

bài bác giảng Tin học ứng dụng nâng cao: Giải phương trình cùng hệ phương trình - Lê Viết Mẫn


*
pdf

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao bởi


*
pdf

Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc




Xem thêm: Phân Đạm Chứa Nguyên Tố Dinh Dưỡng Nào, Ảnh Hưởng Của Nó Đến Cây Trồng Như Nào

Nội dung

www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham khảo tạp chí THTT 2010Trong những đề thi đh những năm gần đây, ta gặp mặt rất nhiều bài toán về hệphương tr ình. Nhằm mục đích giúp các bạn ôn thi tốt, nội dung bài viết này shop chúng tôi xin giới thiệu một sốdạng bài xích và kĩ năng giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.Đặc điểm phổ biến của dạng hệ này là sử dụng những kĩ năng biến đổi đồng tuyệt nhất đặcbiệt là năng lực phân tích nhằm đưa một PT vào hệ về dạng đơn giản và dễ dàng ( hoàn toàn có thể rút theoy hoặc trái lại ) rồi ráng vào PT còn lại trong hệ.*Loại sản phẩm công nghệ nhất: trong hệ gồm một phương trình số 1 với ẩn x hoặc y khi đó ta tìmcách rút y theo x hoặc ngược lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1thay vào (1) taGiải. Hay thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) yêu cầu từ (2) ta tất cả : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại máy hai: Một phương trình vào hệ rất có thể đưa về dạng tích của những phương trìnhbậc tuyệt nhất hai ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( trường đoản cú điều kiệnta bao gồm x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 vậy vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( bởi vì y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại vật dụng ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc nhì của một ẩn,ẩn sót lại là tham số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học tập 2011Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta gồm D " = 9 x 2 từ đó ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm đặc biệt nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến hóa hằng đẳng thức cơbản hoặc phép phân chia cho một biểu thức không giống 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 yVí dụ 4. Giải hệ phương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 không thỏa mãn nhu cầu PT(1) nên HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta có hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này bạn đọc rất có thể giải dễ dàng dàng.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïVí dụ 5. Giải hệ phương trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều kiện : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do a ³ 2 ) từ đó ta bao gồm hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐHệ nhiều loại này ta gặp nhiều ở nhì dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) cùng với f là hàm đơnđiệu trên tập D cùng x, y nằm trong D .Nhiều khi ta đề xuất phải review ẩn x, y để x, y ở trong tậpmà hàm f solo điệu* một số loại thứ nhất: Một phương trình vào hệ bao gồm dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lạigiúp ta giới hạn x, y thuộc tập D đặt lên để trên kia hàm f 1-1 điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Từ PT (2) ta tất cả x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> gồm f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t cho nên vì vậy hàm số f (t ) đồngbiến trên RNên PT (3) Û a = b vắt vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo nhấn xét trên thì a + a 2 + 1 > 0 yêu cầu PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( đem ln nhị vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại học 20111- ln 3 2 từ bỏ (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ đã cho tương đương với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 cùng = -9 (loại). Với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) gồm t 2 + t - 2 = 0 với t = log y x .()()æ3öa) với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) với log y x = -2 , ta được x = 2 . Thay vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường phù hợp này PT (3) vô nghiệm. Thiệt vậy:+ nếu như y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại học 20111221+ giả dụ 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ đã cho chỉ bao gồm một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ đã cho tương tự với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này còn có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Dưới đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ bên trên ta thấy x , y, z > 0 . Thực hiện bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương từ bỏ ta thu được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ kia suy ra hệ tất cả một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Chũm y tự PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) tất cả x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta tất cả f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới đây, xin nêu một vấn đề trong Đề thi tuyển chọn sinh Đại học sớm nhất mà trường hợp khôngdùng đến phương pháp đạo hàm thì khó có thể giải quyết được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t gồm f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 đề nghị f (t ) luôn đồng phát triển thành trên  , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 và x = không hẳn là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x bên trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa tất cả g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t nên hàm số f (t ) luôn đồng đổi mới nênx= y Û x = y 2 . Núm x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Kiếm được x = 1 .yVậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) với ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải các hệ phương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + đôi mươi y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền