Cho hệ toạ độ (Oxyz), cho tứ điểm (A( 1 ; 0 ; 0 ), B( 0 ; 1 ; 0 ), C( 0 ; 0 ; 1 ), D( -2 ; 1 ; -1))


LG a

a) chứng minh (A, B, C, D) là bốn đỉnh của một tứ diện.

Bạn đang xem: Sgk hình 12

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện tức là chứng tỏ 4 điểm đó không đồng phẳng

Bằng biện pháp viết phương trình khía cạnh phẳng ((ABC)) ( dạng đoạn chắn) rồi bệnh minh (D otin left( ABC ight)).

Lời giải bỏ ra tiết:

Viết phương trình mặt phẳng ((ABC)): Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

((ABC)): (x over 1 + y over 1 + z over 1 = 1 ) (Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0)

Thế các toạ độ của (D) vào vế phải của phương trình mặt phẳng ((ABC)), ta có: (-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0)

Vậy (D ∉ (ABC)) tuyệt bốn điểm (A, B, C, D) không đồng phẳng, suy ra (A, B, C, D) là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

(eginarrayloverrightarrow AB = ( - 1;1;0);;;overrightarrow CD = left( - 2;1; - 2 ight);;;overrightarrow AC = left( - 1;0;1 ight)\ Rightarrow left< overrightarrow AB ;;overrightarrow AC ight> = left( 1;1;1 ight)\ Rightarrow left< overrightarrow AB ;;overrightarrow AC ight>.;overrightarrow CD ; = ( - 2).1 + 1.1 + ( - 2).1 = - 3endarray)

( Rightarrow overrightarrow AB ;;overrightarrow AC ;;overrightarrow CD ;) không đồng phẳng.

( Rightarrow A, B, C, D) không đồng phẳng

( Rightarrow A, B, C, D) là 4 đỉnh của hình tứ diện


LG b

b) search góc giữa hai tuyến phố thẳng (AB) với (CD).

Phương pháp giải:

Gọi (α) là góc giữa hai đường thẳng (AB, CD) ta có: (cos α =left| cos left( overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight) ight|).

(cos left( overrightarrow AB ;overrightarrow CD ight) = dfracoverrightarrow AB .overrightarrow CD )

Lời giải chi tiết:

Gọi (displaystyle α) là góc giữa hai đường thẳng (displaystyle AB, CD) ta có:

(displaystyle cos α =left| cos left( overrightarrow AB ,overrightarrow CD ight) ight|)

(displaystyle cos left( overrightarrow AB ;overrightarrow CD ight) ) (displaystyle = dfracoverrightarrow AB .overrightarrow CD left)

Ta có: (displaystyle overrightarrow AB = ( - 1,1,0)), (displaystyle overrightarrow CD = ( - 2,1, - 2))

(displaystyle overrightarrow AB .overrightarrow CD= (-1).(-2) + 1.1 + 0.(-2) = 3)

(displaystyle left| overrightarrow AB ight| = sqrt ( - 1)^2 + 1^2 + 0^2 = sqrt 2 )

(displaystyle left| overrightarrow CD ight| = sqrt ( - 2)^2 + 1^2 + ( - 2)^2 = 3)

(displaystyle Rightarrow cos (overrightarrow AB ,overrightarrow CD ) = 3 over 3sqrt 2 = sqrt 2 over 2 ) (Rightarrow (overrightarrow AB ,overrightarrow CD ) = 45^0) (displaystyle Rightarrow α = 45^0)


LG c

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp (A.BCD).

Phương pháp giải:

Độ dài con đường cao của hình chóp A.BCD bằng (dleft( A;left( BCD ight) ight)).

Xem thêm: Mô Típ Là Gì - Sự Khác Biệt Giữa Chủ Đề Và Mô Hình

+) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

+) Áp dụng cách làm tính khoảng cách từ điểm (Mleft( x_0;y_0;z_0 ight)) đến mặt phẳng (left( p. ight):,,Ax + By + Cz + D = 0) là: 

Lời giải bỏ ra tiết:

Ta có (displaystyle overrightarrow BC = (0; - 1;1),) (displaystyle overrightarrow BD = ( - 2;0; - 1))

Gọi (displaystyle overrightarrow n ) là vectơ pháp tuyến của (displaystyle (BCD)) thì: 

(displaystyle overrightarrow n_(BCD) = left< overrightarrow BC ,overrightarrow BD ight> ) (displaystyle = (1; -2; -2))

Phương trình mặt phẳng (displaystyle (BCD)):

(displaystyle 1(x - 0) - 2(y - 1) - 2( z - 0) = 0)

(displaystyle Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0)

Chiều cao của hình chóp (displaystyle A.BCD) bằng khoảng cách từ điểm (displaystyle A) đến mặt phẳng (displaystyle (BCD)):

(displaystyle h = d(A,(BCD)) = 1 + 2 ight over sqrt 1^2 + (-2)^2 + ( - 2)^2 ) (displaystyle = 3 over 3 = 1)