(eginarray*20lsin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\sin x = - 1 Leftrightarrow x = - fracpi 2 + k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)
2. Phương trình cosx = a
- Nếu(|a|>1): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu(|a|leq 1):
+ (cos x = cos alpha)
(Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( k inmathbbZ ight))
+ (cos x = cos eta ^0 )
(Leftrightarrow x = pm eta ^0 + k360^0left( k in mathbbZ ight))
+ (cos x = a )
(Leftrightarrow x = pm ,arcc mosa + k2pi left( k in mathbbZ ight))
+ Tổng quát:(cos fleft( x ight) =cos gleft( x ight) )
(Leftrightarrow fleft( x ight) = pm gleft( x ight) + k2pi ,,left( k in mathbbZ ight))
- những trường hợp đặc biệt:
(eginarray*20lcos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cos x = - 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)
3. Phương trình tanx = a
(eginarray*20l an x = mtanalpha Leftrightarrow mkern 1mu xmkern 1mu m = mkern 1mu alpha + kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\ an x = mtaneta ^0 Leftrightarrow mkern 1mu x m = eta ^0 + k m18 m0^0mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\ an x = a Leftrightarrow x m = arctan amkern 1mu + kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)
Tổng quát:( an fleft( x ight) = an gleft( x ight) )
(Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))
4. Phương trình cotx = a
(eginarray*20lcot x = cot alpha Leftrightarrow mxmkern 1mu mkern 1mu m = mkern 1mu alpha mkern 1mu m + mkern 1mu mkpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cot x = cot eta ^0 Leftrightarrow mxmkern 1mu mkern 1mu m = mkern 1mu eta ^0 m + mkern 1mu mk18 m0^0mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cot x = a Leftrightarrow mxmkern 1mu mkern 1mu m = arccot mkern 1mu amkern 1mu m + mkern 1mu mkpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)
Tổng quát:(cot fleft( x ight) = cot gleft( x ight) )
(Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))
5. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:Giải những phương trình sau:
a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3
ight)=0).
Bạn đang xem: Phương trình lượng giác : sinx = m
b)(sin x = sin fracpi 12).
c)(sin 3x = frac12).
d)(sin x = frac23).
Lời giải:a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0)
(Leftrightarrow frac2x3 - fracpi 3 = kpi )
(Leftrightarrow ,frac2x3 = fracpi 3 + kpi)
(Leftrightarrow ,x = fracpi 2 + kfrac3pi 2),(k in mathbbZ.)
Vậy phương trình có những nghiệm là:
(x = fracpi 2 + kfrac3pi 2), (k in mathbbZ.)
b)(sin x = sin fracpi 12 Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = pi - fracpi 12 + k2pi endarray ight. )
(Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = frac11pi 12 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))
Vậy phương trình có những nghiệm là:
(x = fracpi 12 + k2pi ,kin mathbbZ)và
(x = frac11pi 12 + k2pi ,kin mathbbZ.)
c)(sin 3x = frac12 Leftrightarrow sin 3x = sin fracpi 6 )
(Leftrightarrow left< eginarrayl 3x = fracpi 6 + k2pi \ 3x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight.)
(Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 18 + kfrac2pi 3\ x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3 endarray ight.left( k in mathbbZ ight))
Vậy phương trình có các nghiệm là:
(x = fracpi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ)và
(x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ).
d)(sin x = frac23 Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin frac23 + k2pi \ x = pi - arcsin frac23 + k2pi endarray ight.)
(left( k inmathbbZ ight))
Vậy phương trình có các nghiệm là:
(x = arcsin frac23 + k2pi,k in mathbbZ)và
(x = pi - arcsin frac23 + k2pi, k in mathbbZ.)
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12).
b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2).
Lời giải:a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12 )
(Leftrightarrow left< eginarrayl frac3x2 - fracpi 4 = frac2pi 3 + k2pi \ frac3x2 - fracpi 4 = - frac2pi 3 + k2pi endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3\ x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3 endarray ight.mkern 1mu ,mkern 1mu k in mathbbZ.)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
(x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ)và
(x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ.)
b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2 )
( Leftrightarrow cos left( x + 45^0 ight) = cos 45^0)
(Leftrightarrow left< eginarrayl x + 45^0 = 45^0 + k360^0\ x + 45^0 = - 45^0 + k360^0 endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 45^0 + k360^0\ x = - 90^0 + k360^0 endarray ight.left( k in mathbbZ ight).)
Vậy phương trình có những nghiệm là:
(x = 45^0 + k360^0, k in mathbbZ)và
(x = - 90^0 + k360^0, k in mathbbZ.)
Ví dụ 3:Giải những phương trình sau:
a)( an x = an fracpi 3).
b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3).
Lời giải:a)( an x = an fracpi 3 Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,left( k inmathbbZ ight).)
b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3 )
(Leftrightarrow an (x - 15^0) = an 30^0)
(Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
(x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)
Ví dụ 4:Giải những phương trình sau:
a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7).
Xem thêm: Xét Nghiệm Máu Lym Trong Xét Nghiệm Máu Là Gì ? Ý Nghĩa Của Các Chỉ Số Trong Xét Nghiệm Máu
b)(cot 4x = - 3.)
c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 ).
Lời giải:a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7)
(Leftrightarrow 4x = frac2pi 7, + ,kpi )
(Leftrightarrow ,x = fracpi 14 + ,kfracpi 4,,k in mathbbZ.)
Vậy các nghiệm của phương trình là:
(x = fracpi 14 + ,kfracpi 4;,k in mathbbZ.)
b)(cot 4x = - 3 Leftrightarrow 4x = arctan left( - 3 ight) + kpi )
(Leftrightarrow x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)
Vậy những nghiệm của phương trình là:
(x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)
c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 )
(Leftrightarrow cot left( 2x - fracpi 6 ight) = cot fracpi 6)
(Leftrightarrow 2x - fracpi 6 = fracpi 6 + kpi Leftrightarrow 2x = fracpi 3 + kpi)
(Leftrightarrow x = fracpi 6 + kfracpi 2,left( k inmathbbZ ight).)