(eginarray*20lsin x = 1 Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\sin x = - 1 Leftrightarrow x = - fracpi 2 + k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)

2. Phương trình cosx = a

- Nếu(|a|>1): Phương trình vô nghiệm.

- Nếu(|a|leq 1):

+ (cos x = cos alpha)

(Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( k inmathbbZ ight))

+ (cos x = cos eta ^0 )

(Leftrightarrow x = pm eta ^0 + k360^0left( k in mathbbZ ight))

+ (cos x = a )

(Leftrightarrow x = pm ,arcc mosa + k2pi left( k in mathbbZ ight))

+ Tổng quát:(cos fleft( x ight) =cos gleft( x ight) )

(Leftrightarrow fleft( x ight) = pm gleft( x ight) + k2pi ,,left( k in mathbbZ ight))

- những trường hợp đặc biệt:

(eginarray*20lcos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cos x = - 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)

3. Phương trình tanx = a

(eginarray*20l an x = mtanalpha Leftrightarrow mkern 1mu xmkern 1mu m = mkern 1mu alpha + kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\ an x = mtaneta ^0 Leftrightarrow mkern 1mu x m = eta ^0 + k m18 m0^0mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\ an x = a Leftrightarrow x m = arctan amkern 1mu + kpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)

Tổng quát:( an fleft( x ight) = an gleft( x ight) )

(Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))

4. Phương trình cotx = a

(eginarray*20lcot x = cot alpha Leftrightarrow mxmkern 1mu mkern 1mu m = mkern 1mu alpha mkern 1mu m + mkern 1mu mkpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cot x = cot eta ^0 Leftrightarrow mxmkern 1mu mkern 1mu m = mkern 1mu eta ^0 m + mkern 1mu mk18 m0^0mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)\cot x = a Leftrightarrow mxmkern 1mu mkern 1mu m = arccot mkern 1mu amkern 1mu m + mkern 1mu mkpi mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu mkern 1mu left( k in mathbbZ ight)endarray)

Tổng quát:(cot fleft( x ight) = cot gleft( x ight) )

(Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight) + kpi ,,left( k in mathbbZ ight))

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải những phương trình sau:

a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0).

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác : sinx = m

b)(sin x = sin fracpi 12).

c)(sin 3x = frac12).

d)(sin x = frac23).

Lời giải:

a)(sin left( frac2x3 - fracpi 3 ight)=0)

(Leftrightarrow frac2x3 - fracpi 3 = kpi )

(Leftrightarrow ,frac2x3 = fracpi 3 + kpi)

(Leftrightarrow ,x = fracpi 2 + kfrac3pi 2),(k in mathbbZ.)

Vậy phương trình có những nghiệm là:

(x = fracpi 2 + kfrac3pi 2), (k in mathbbZ.)

b)(sin x = sin fracpi 12 Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = pi - fracpi 12 + k2pi endarray ight. )

(Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 12 + k2pi \ x = frac11pi 12 + k2pi endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

Vậy phương trình có những nghiệm là:

(x = fracpi 12 + k2pi ,kin mathbbZ)và

(x = frac11pi 12 + k2pi ,kin mathbbZ.)

c)(sin 3x = frac12 Leftrightarrow sin 3x = sin fracpi 6 )

(Leftrightarrow left< eginarrayl 3x = fracpi 6 + k2pi \ 3x = frac5pi 6 + k2pi endarray ight.)

(Leftrightarrow left< eginarrayl x = fracpi 18 + kfrac2pi 3\ x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3 endarray ight.left( k in mathbbZ ight))

Vậy phương trình có các nghiệm là:

(x = fracpi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ)và

(x = frac5pi 18 + kfrac2pi 3, k in mathbbZ).

d)(sin x = frac23 Leftrightarrow left< eginarrayl x = arcsin frac23 + k2pi \ x = pi - arcsin frac23 + k2pi endarray ight.)

(left( k inmathbbZ ight))

Vậy phương trình có các nghiệm là:

(x = arcsin frac23 + k2pi,k in mathbbZ)và

(x = pi - arcsin frac23 + k2pi, k in mathbbZ.)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12).

b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2).

Lời giải:

a)(cos left( frac3x2 - fracpi 4 ight) = - frac12 )

(Leftrightarrow left< eginarrayl frac3x2 - fracpi 4 = frac2pi 3 + k2pi \ frac3x2 - fracpi 4 = - frac2pi 3 + k2pi endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3\ x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3 endarray ight.mkern 1mu ,mkern 1mu k in mathbbZ.)

Vậy phương trình có các nghiệm là:

(x = frac11pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ)và

(x = - frac5pi 18 + kfrac4pi 3, k in mathbbZ.)

b)(cos left( x + 45^0 ight) = fracsqrt 2 2 )

( Leftrightarrow cos left( x + 45^0 ight) = cos 45^0)

(Leftrightarrow left< eginarrayl x + 45^0 = 45^0 + k360^0\ x + 45^0 = - 45^0 + k360^0 endarray ight.)(Leftrightarrow left< eginarrayl x = 45^0 + k360^0\ x = - 90^0 + k360^0 endarray ight.left( k in mathbbZ ight).)

Vậy phương trình có những nghiệm là:

(x = 45^0 + k360^0, k in mathbbZ)và

(x = - 90^0 + k360^0, k in mathbbZ.)

Ví dụ 3:

Giải những phương trình sau:

a)( an x = an fracpi 3).

b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3).

Lời giải:

a)( an x = an fracpi 3 Leftrightarrow x = fracpi 3 + kpi ,left( k inmathbbZ ight).)

b)( an (x - 15^0) = fracsqrt 3 3 )

(Leftrightarrow an (x - 15^0) = an 30^0)

(Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)

Vậy các nghiệm của phương trình là:

(x = 45^0 + k180^0 , k in mathbbZ.)

Ví dụ 4:

Giải những phương trình sau:

a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7).

Xem thêm: Xét Nghiệm Máu Lym Trong Xét Nghiệm Máu Là Gì ? Ý Nghĩa Của Các Chỉ Số Trong Xét Nghiệm Máu

b)(cot 4x = - 3.)

c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 ).

Lời giải:

a)(cot 4x = ,cot frac2pi 7)

(Leftrightarrow 4x = frac2pi 7, + ,kpi )

(Leftrightarrow ,x = fracpi 14 + ,kfracpi 4,,k in mathbbZ.)

Vậy các nghiệm của phương trình là:

(x = fracpi 14 + ,kfracpi 4;,k in mathbbZ.)

b)(cot 4x = - 3 Leftrightarrow 4x = arctan left( - 3 ight) + kpi )

(Leftrightarrow x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)

Vậy những nghiệm của phương trình là:

(x = frac14arctan left( - 3 ight) + kfracpi 4,left( k in mathbbZ ight).)

c)(cot left( 2x - fracpi 6 ight) = frac1sqrt 3 )

(Leftrightarrow cot left( 2x - fracpi 6 ight) = cot fracpi 6)

(Leftrightarrow 2x - fracpi 6 = fracpi 6 + kpi Leftrightarrow 2x = fracpi 3 + kpi)

(Leftrightarrow x = fracpi 6 + kfracpi 2,left( k inmathbbZ ight).)