1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được call là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Tất cả các công thức nguyên hàm

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 3 tính chất đặc biệt quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi biến tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong số ấy φ(x) là hàm số mà ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: thể hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1

*

c) Đổi biến dị 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u cùng dv: kiếm được v dễ ợt và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: vật dụng tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, lượng chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tra cứu f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn phương pháp bấm máy tính nguyên hàm cấp tốc theo 3 bước sau:

Bước 1: nhấn shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: dìm phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu kết quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì sẽ là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm sản phẩm công nghệ tính

Bước 1: Nhập vào máy tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( 2x + 3 ight ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong công dụng A và C nếu mang lại X = 2 thì đầy đủ cho tác dụng là 0. Vậy khi tất cả trị tuyệt đối hoàn hảo thì cho X một giá chỉ trị mang đến biểu thức trong trị tuyệt đối âm.

Kết luận: Chọn lời giải A.

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa lựa chọn một trong hai bí quyết sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, triển khai theo các bước sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: ráng vào công thức nguyên hàm từng phần.Bước 3: thường xuyên thủ tục như trên ta vẫn khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Bạn Có Biết Iphone 8G Là Gì, Bạn Có Biết Iphone 8 Có Những Phiên Bản Nào

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong đó $A(x)$ và $B(x)$ là các đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm hai vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng cách thức hệ số cô động ta xác minh được $A(x)$ và $B(x).$

Nhận xét: ví như bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì bí quyết 1 trầm trồ cồng kềnh, vì khi đó ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của nhiều thức, cho nên ta đi đến nhận định và đánh giá như sau:

Nếu bậc của đa thức bé dại hơn hoặc bằng $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bằng $3$: Ta áp dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo nhận xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng duy nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$