Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng các loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác định trên

Nếu tồn tại số lượng giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì giới hạn này call là tích phân suy rộng lớn của f(x) bên trên
Bạn đang xem: Tích phân suy rộng

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng lớn

*
là hội tụ (integral is convergent)

Nếu số lượng giới hạn này là khôn xiết hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(do

*
)

Vậy: I hội tụ và

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan lại trọng:

Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Lúc đó:

*

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo lấy ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường thích hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý đối chiếu 1:

Giả sử f(x) và g(x) ko âm cùng khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở cạnh bên +∞ ( tức là x đủ lớn). Lúc đó:

Nếu
*
hội tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

1.4.2 Định lý đối chiếu 2:

Giả sử f(x) cùng g(x) ko âm cùng cùng khả tích bên trên , và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( có nghĩa là x đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân

*
, ta đề xuất xây dựng hàm g(x) làm thế nào để cho
*
. Nghĩa là, f(x) với g(x) là nhị lượng tương đương.

Muốn vậy, ta buộc phải nhận diện và sửa chữa thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) bao gồm trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả nhì hàm f(x) với g(x) buộc phải cùng khả tích bên trên

1.5 những ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác định và liên tục với số đông x nằm trong
*
.

Khi

*
: lnx là VCL nhưng không kiếm được VCL tương tự tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu đối chiếu 2.

Ta rất có thể dùng lốt hiệu đối chiếu 1. Muốn vậy, đề xuất chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân đã mang lại phân kỳ.( vì chưng tích phân

*
phân kỳ).

Ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

chú ý hàm lấy tích phân, ta thấy:

lúc

*

*
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) cùng g(x) thuộc khả tích bên trên <1;+∞) yêu cầu

*
*
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác:

*
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

*
ta có:

*
x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) xác minh và tiếp tục với đều

*
, còn g(x) không khẳng định tại x = 0 buộc phải ta chưa thể dùng dấu hiệu đối chiếu 2 được.

Khi đó, bóc tách I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– do

*
x}1+x^2 " class="latex" /> xác minh và liên tục trên <0;1> phải
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân khẳng định nên hội tụ.

Xem thêm: M Lớn Của Các Nguyên Tố Hóa Học Đầy Đủ, Bảng Hóa Trị Hóa Học Cơ Bản Và Bài Ca Hóa Trị

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> buộc phải hội tụ.