Toán 10: Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô vị trí hướng của hai vectơ

Cho nhì véc-tơ $ veca$ và $vecb$ phần lớn khác $ vec0$. Tích vô hướng của hai véc-tơ $ veca$ cùng $vecb$, kí hiệu là $ vecacdot vecb$ là một trong những số, được khẳng định bởi $$ vecacdot vecb = left|veca ight |cdot left|vecb ight|cdot cos (veca,vecb) .$$

Quy ước, ví như $ veca=vec0$ hoặc $ vecb=vec0$ thì $ vecacdot vecb =0.$

Xem lại cách xác minh góc giữa hai véc-tơ: Góc thân hai vectơ trong phương diện phẳng.

Bạn đang xem: Tích vô hướng 2 vecto

Hai véc-tơ vuông góc cùng nhau khi và chỉ còn khi tích vô vị trí hướng của chúng bởi $0$.

Tích vô hướng chính là công trong thiết bị lý. Cho 1 lực bao gồm độ béo $F$ ảnh hưởng lên vật có tác dụng vật dịch chuyển được quãng con đường $s=OO’$. Lực $F$ phù hợp với hướng hoạt động $OO’$ một góc là $phi$ thì công cơ mà lực $F$ sinh ra bao gồm độ phệ là $$A=F.s.cosphi.$$

*

1.2. Tính chất của tích vô hướng

Với bố véc-tơ $ veca,vecb,vecc$ ngẫu nhiên và một vài thực $ k$, ta luôn có

$ vecacdot vecb=vecbcdotveca$ (tính hóa học giao hoán);$ veca(vecb+vecc)=vecacdotvecb+vecacdotvecc$ (tính hóa học phân phối);$ (kveca)cdotvecb=k(vecacdotvecb)$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với hệ trục $ (O;veci,vecj)$ mang lại hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ thì ta bao gồm $$ vecacdotvecb=xx’+yy’. $$

Hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ khi và chỉ khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô hướng 2 vecto

Độ dài của $ veca(x;y)$ được tính bởi cách làm $$ |veca|=sqrtx^2+y^2.$$Góc thân hai vectơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ có $$ cosleft(veca,vecb ight)=fracvecacdotvecbcdot=fracxx’+yy’sqrtx^2+y^2cdotsqrtx’^2+y’^2.$$Khoảng giải pháp giữa hai điểm $ A(x_A;y_A)$ với $ B(x_B;y_B)$ được tính bởi phương pháp $$ AB=sqrtleft(x_B-x_A ight)^2+left(y_B-y_A ight)^2.$$

1.5. Công thức hình chiếu

Nếu nhì điểm $ A’,B’ $ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ khởi hành thẳng $ CD, $ thì ta luôn luôn có < overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowA’B’cdotoverrightarrowCD >Ngược lại, nếu như hai điểm $ C’,D’ $ thứu tự là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ phát xuất thẳng $ AB $ thì< overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowABcdotoverrightarrowC’D’ >

2. Những dạng toán tích vô hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bởi định nghĩa

Ví dụ 1. mang lại tam giác $ABC$ đều, cạnh bằng $ a $ và con đường cao $ AH $. Tính các tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$(2overrightarrowAB)cdot(3overrightarrowHC)$;$ (overrightarrowAB-overrightarrowAC)(2overrightarrowAB+overrightarrowBC). $

Ví dụ 2. mang lại tam giác các $ ABC $ có cạnh bằng $ 3a. $ mang hai điểm $ M,N $ trực thuộc đoạn $ AC $ thế nào cho $ AM=MN=NC $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$overrightarrowACcdotoverrightarrowCB$;$overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN $.

Hướng dẫn.

Ta có: $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC=ABcdot ACcoswidehatBAC=3acdot 3acdotcos60^circ=frac9a^22.$Dựng $ overrightarrowCE=overrightarrowAC $ thì $left(overrightarrowAC,overrightarrowCB ight)=left(overrightarrowCE,overrightarrowCB ight)=widehatBCE=120^circ. $ Từ đó tính được, $overrightarrowACcdotoverrightarrowCB=-frac9a^22$.Để tính tích vô hướng còn lại, ta phân tích những véctơ sử dụng quy tắc ba điểm như sau: eginalign*overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN&=left(overrightarrowAM-overrightarrowAB ight)left(overrightarrowAN-overrightarrowAB ight)\ &=overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN-overrightarrowABcdotoverrightarrowAM-overrightarrowABcdotoverrightarrowAN+overrightarrowAB^2 endalign*Thay số vào những tích vô phía trên, được đáp số $ frac13a^22 $.

Khi tính những tích vô phía ta thông thường có hai hướng, tính trực tiếp bằng định nghĩa, hoặc so sánh thành những véctơ gồm mối liên hệ đặc biệt cùng nhau (vuông góc, thuộc hướng hoặc ngược phía với nhau). Hãy xem ví dụ sau để rõ hơn về phát minh này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ bao gồm $ M, N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ CD $. Tính những tích vô hướng:

$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM$;$overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN. $

Hướng dẫn.

Ta bao gồm $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM=overrightarrowABleft(overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)=overrightarrowAB^2+overrightarrowABcdotoverrightarrowBM=a^2. $Tương tự, cũng có $ overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN=left( overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)left(overrightarrowAD+overrightarrowDN ight)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ và $ M $ là một điểm nằm trê tuyến phố tròn nước ngoài tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

$ left( overrightarrowAB+overrightarrowAD ight) cdotleft(overrightarrowBD+overrightarrowBC ight) $;$ left( 2overrightarrowAB-overrightarrowAD ight) cdot left( 2overrightarrowAC+overrightarrowAB ight) $;$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB+overrightarrowMCcdotoverrightarrowMD $.

Ví dụ 5. đến hai điểm $ A,B $ thắt chặt và cố định và $ k $ là hằng số. Tìm kiếm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn $$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB=k. $$

Hướng dẫn. call $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: eginalignoverrightarrowMAcdotoverrightarrowMB&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)\&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI-overrightarrowIA ight)\&=MI^2-IA^2endalign do đó, $ MI^2=k+IA^2 $, bắt buộc có các khả năng:

Nếu $ k+IA^2 ví như $ k+IA^2=0 $, tập thích hợp điểm $ M $ là điểm $ I $.Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập vừa lòng điểm $ M $ là 1 trong những đường tròn trọng tâm $ I, $ nửa đường kính $ R=sqrtk+IA^2 $.

Như vậy, tùy ở trong vào số $ k $ mà tập hợp điểm $ M $ là các tập không giống nhau như trên.

Ví dụ 6. đến hai véctơ $ overrightarrowOA,overrightarrowOB $, call $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ khởi thủy thẳng $ OA $. Chứng minh rằng $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Hướng dẫn. Chúng ta xét nhị trường hợp:

Hai điểm $A$ với $ B’ $ nằm ở cùng một phía so với điểm $ O. $ lúc đó, $ coswidehatAOB=coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos0^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalignHai điểm $A$ với $ B’ $ nằm nhì phía so với điểm $ O. $ khi đó, $ coswidehatAOB=-coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=-OAcdot OBcdotcoswidehatAOB’\&=-OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos180^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalign

Như vậy, trong cả nhì trường hợp, ta đều sở hữu $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.

Ví dụ 7. mang đến đường tròn trung ương $ I, $ nửa đường kính $ R $ và một điểm $ M $ bất kỳ. Một con đường thẳng qua $ M $ giảm đường tròn tại nhì điểm $ A,B $. Chứng tỏ rằng quý hiếm của biểu thức $ P=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB $ không đổi.

Hướng dẫn. Kẻ 2 lần bán kính $ BB’ $ thì ta tất cả $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng công thức hình chiếu trong lấy ví dụ trên, ta có: eginalignP&=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB\&=overrightarrowMBcdotoverrightarrowMB’\&=left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI+overrightarrowIB’ ight)endalign nhưng lại $ overrightarrowIB=-overrightarrowIB’$, bắt buộc suy ra $$P= left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI-overrightarrowIB ight)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đấy là một đại lượng không đổi.

Ví dụ 8. mang lại tam giác $ABC$ vuông trên $ A $ với $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=4, overrightarrowACcdotoverrightarrowBC=9 $. Tính độ dài tía cạnh của tam giác.

Hướng dẫn. Ta tất cả $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ khởi hành thẳng $ AB $, bởi đó: < 4=overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=overrightarrowABcdotoverrightarrowAB=AB^2 > Suy ra $ AB=2. $ tựa như có $ AC=3, $ và sử dụng Pytago được $ BC=sqrt13. $

Ví dụ 9. mang lại hình thang vuông $ ABCD $, đường cao $ AB = 2a $, đáy bự $ BC = 3a $, đáy bé dại $ AD = a $.

Tính những tích vô hướng $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCD,overrightarrowBDcdotoverrightarrowBC,overrightarrowACcdotoverrightarrowBD $.Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ left(overrightarrowAI,overrightarrowBD ight) $.

Hướng dẫn. áp dụng công thức hình chiếu hoặc đối chiếu theo hai véctơ vuông góc với nhau là $ overrightarrowAB,overrightarrowAD. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ với điểm $ M $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ AM=fraca3. $ Tính giá trị lượng giác $ coswidehatCMD $.

2.2. Chứng tỏ đẳng thức bởi tích vô hướng

Ví dụ 1. đến tam giác $ABC$ có giữa trung tâm $ G $ với $ M $ là 1 trong những điểm nằm trê tuyến phố thẳng đi qua $ G $ đôi khi vuông góc với $ BC. $ minh chứng rằng $$left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=0. $$ Hướng dẫn. Ta gồm $ left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=3overrightarrowMGcdotoverrightarrowBC=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ trung ương là $ O $, cạnh bằng $ a $. Chứng tỏ rằng với đa số điểm $ M $ ta luôn có:< MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 > Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=overrightarrowMA^2=left(overrightarrowMO+overrightarrowOA ight)^2=MO^2+OA^2+2overrightarrowMOcdotoverrightarrowOA. $$ làm cho tương tự đối với $ MB,MC,MD $ và cùng từng vế những đẳng thức này được: eginalignMA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2overrightarrowMOleft(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD ight)\&=4MO^2+2a^2endalign vì $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD=vec0. $

2.3. Chứng minh hai mặt đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. chứng minh rằng với tư điểm sáng tỏ $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn có, $ AB $ vuông góc cùng với $ CD $ khi và chỉ khi< AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 >Hướng dẫn. Áp dụng công thức $ veca^2=|veca|^2 $, ta có:eginalign*AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\Leftrightarrow overrightarrowAC^2-overrightarrowAD^2&=overrightarrowBC^2-overrightarrowBD^2\Leftrightarrow left(overrightarrowAC-overrightarrowAD ight)left(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=left(overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)left(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=overrightarrowDCleft(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD-overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)&=0\Leftrightarrow 2overrightarrowDCcdotoverrightarrowAB&=0endalign* Điều này xảy ra, khi còn chỉ khi hai tuyến đường thẳng $ AB $ và $ CD $ vuông góc với nhau.

Chú ý rằng, ở cách thứ ba, ta ko được “chia” hai vế cho $ overrightarrowDC $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ cùng với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ với tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong phương diện phẳng tọa độ mang đến hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ search tọa độ điểm $M$ trực thuộc trục $ Ox $ làm sao để cho tam giác $ MAB $ vuông tại $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong khía cạnh phẳng tọa độ đến tam giác $ABC$ có $A(1;2),B(5;3)$ với $C(-2;-2)$.

Tính chu vi tam giác $ABC$;Tính số đo những góc của tam giác $ABC$;Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, trọng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. đến tam giác $ ABC $ vuông cân tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ và $ G(2/3,0) $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Kiếm tìm tọa độ những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ overrightarrowAG=2overrightarrowGM Leftrightarrow A(0,2).$Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì vị $ M $ là trung điểm $ BC $ đề xuất $ C(2-x_B,-2-y_B) $ vì vậy tính được $$ overrightarrowAB,overrightarrowAC. $$Mặt khác, tất cả tam giác $ ABC $ vuông cân tại $A$ khi còn chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowAC=0 \ AB=AC endcases$$ Giải hệ này kiếm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ tự đó tìm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong phương diện phẳng toạ độ $ Oxy, $ mang lại tam giác $ ABC $ có những đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ với $ m e 0 $. Kiếm tìm tọa độ trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Xác định $ m $ nhằm tam giác $ GAB $ vuông trên $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=pm3sqrt6 $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-sqrt3,-1). $ search tọa độ trực trung khu và chổ chính giữa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

Có $ H $ là trực trọng tâm tam giác $OAB$ khi và chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowOH=0\ overrightarrowAH.overrightarrowOB=0 endcases $$ Giải hệ này tìm được đáp số $H(sqrt3,-1).$Ta tất cả $ I $ là trung tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ còn khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này tìm được đáp số $I(-sqrt3,1)$.

Ví dụ 7. mang lại tứ giác $ABCD$ gồm $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích s được tính bởi công thức $$S=frac12 ABcdot AD.$$

3. Bài xích tập tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông ABCD cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAD$ cùng $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$.

Bài 2. cho tam giác $ABC$ tất cả $widehatA=90^circ;widehatB=60^circ$ với $AB=a$. Tính những tích vô phía $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;overrightarrowCAcdot overrightarrowCB$ với $overrightarrowACcdot overrightarrowCB$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại A tất cả $AB=AC=a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;;overrightarrowBAcdot overrightarrowBC$ và $overrightarrowABcdot overrightarrowBC$.

Bài 4. cho tam giác $ABC$ mọi cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ cùng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAB$.

Bài 5. Trong phương diện phẳng $ Oxy $ mang lại $A=(4;6),B(1;4)$ cùng $C(7;frac32)$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông trên $ A $.Tính độ dài những cạnh $AB,AC,BC$.

Bài 6. Tính góc thân hai vec tơ $overrightarrowa$ với $overrightarrowb$ trong những trường thích hợp sau

$overrightarrowa=(1;-2)$ và $overrightarrowb=(-1;-3)$.$overrightarrowa=(3;-4)$ và $overrightarrowb=(4;3)$.$overrightarrowa=(2;5)$ với $overrightarrowb=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. điện thoại tư vấn $ M,N $ thứu tự là trung điểm của $ BC,CD $. Minh chứng rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 8. mang lại hình thang vuông $ ABCD $ với con đường cao $ AD=h $ cùng hai lòng $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ và $ h $ để $ AC $ vuông góc với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ và $ b $ để $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 9. minh chứng rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ ngẫu nhiên ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0 >Suy ra ba đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. mang đến tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh rằng $ AI $ vuông góc với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn chổ chính giữa $ O $. điện thoại tư vấn $ BH,CK $ là những đường cao của tam giác. Chứng minh rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 12. đến tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ cùng với $ O $ là trung ương đường tròn ngoại tiếp. Call $ D $ là trung điểm của $ AB $ cùng $ E $ là trung tâm của tam giác $ ACD $. Chứng minh rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 13. cho tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn tâm $ O $ cùng một điểm $ H $. Chứng tỏ rằng $ H $ là trực trọng điểm của tam giác $ ABC $ khi còn chỉ khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 14. cho tứ giác lồi $ ABCD $ cùng với $ O $ là giao điểm của hai đường chéo. điện thoại tư vấn $ H,K $ tương ứng là trực tâm của những tam giác $ OAB,OCD $. điện thoại tư vấn $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Minh chứng rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 15. đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Call $ E,F $ theo thứ tự là trung điểm của $ AB,BC $. Chứng minh rằng $ IE $ vuông góc cùng với $ CD $ khi và chỉ còn khi $ IF $ vuông góc với $ AD $.

Bài 16. đến góc vuông $ xSy $ và đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ trên $ A,B $ cùng $ Sy $ trên $ C,D $. Chứng minh rằng trung tuyến đường vẽ trường đoản cú $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 17. Trong phương diện phẳng $ Oxy $ mang đến hai điểm $A(2;4)$ với $B(1;1)$. Tra cứu tọa độ điểm $ C $ làm thế nào để cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $ B $.

Bài 18. đến tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.

Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ABC$.Tìm tọa độ điểm M biết $overrightarrowCM=2overrightarrowAB-3overrightarrowAC$.Tìm chổ chính giữa và nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho 4 điểm $A,B,C,D$ cùng với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ với $D(0;-2)$. Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong phương diện phẳng $Oxy$ cho 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Minh chứng rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông vắn $ ABCD $. điện thoại tư vấn $ M,N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Minh chứng rằng $ AM $ vuông góc cùng với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AD=h $ và hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ với $ h $ để $ AC $ vuông góc cùng với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ với $ b $ để $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 23. đến tam giác $ABC$. Cùng với điểm $ M $ tùy ý, chứng tỏ rằng$$overrightarrowMAcdot overrightarrowBC+overrightarrowMBcdot overrightarrowCA+overrightarrowMCcdot overrightarrowAB=0$$

Bài 24. mang lại $ O $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $ với $ M $ là 1 trong điểm tùy ý. Chứng minh rằng $overrightarrowMAcdot overrightarrowMB=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. mang đến tam giác $ABC$ có cha đường trung đường là $ AD, BE, CF $. Minh chứng rằng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAD+overrightarrowCAcdot overrightarrowBE+overrightarrowABcdot overrightarrowCF=0$.

Bài 26. mang lại hình chữ nhật $ ABCD $ có $AB=a$ và $AD=asqrt2$. điện thoại tư vấn $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Chứng minh $BKperp AC$.

Bài 27. mang lại tam giác $ABC$ cân tại $ A $. Hotline $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Minh chứng $AMperp BD$.

Bài 28. mang lại tam giác $ABC$. Gọi $ H $ là trực chổ chính giữa của tam giác cùng $ M $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng $overrightarrowMHcdot overrightarrowMA=frac14BC^2$.

Bài 29. mang đến tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo cánh $ AC $ và $ BD $ vuông góc cùng nhau và cắt nhau tại $ M $. Hotline $ p. $ là trung điểm của $ AD $. Bệnh minh$$MPperp BC Leftrightarrow overrightarrowMAcdot overrightarrowMC=overrightarrowMBcdot overrightarrowMD$$

Bài 30. chứng tỏ rằng với bốn điểm $ A,B,C,D $ bất kỳ ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0. > từ bỏ đó minh chứng ba con đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. cho tam giác $ABC$, trên những cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân nặng tại $ A $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc với $ EF $.

Bài 32. cho tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn vai trung phong $ O $. Gọi $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Chứng tỏ rằng $ OA $ vuông góc với $ HK $.

Bài 33. mang lại tam giác $ABC$ cân tại $ A $ với $ O $ là trọng tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ và $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Chứng tỏ rằng $ OE $ vuông góc với $ CD $.

Bài 34. mang lại tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn chổ chính giữa $ O $ với một điểm $ H $. Minh chứng rằng $ H $ là trực trung tâm của tam giác $ ABC $ khi và chỉ còn khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 35. đến tứ giác lồi $ ABCD $ với $ O $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Call $ H,K $ khớp ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. Gọi $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng minh rằng $ HK $ vuông góc với $ IJ $.

Bài 36. đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Gọi $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Minh chứng rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 37. mang đến góc vuông $ xSy $ và mặt đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ trên $ A,B $ cùng $ Sy $ trên $ C,D $. Chứng tỏ rằng trung con đường vẽ từ bỏ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc cùng với $ BD $.

Bài 38. mang lại tam giác không cân $ ABC $. Hỏi tam giác này phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng Euler của nó vuông góc với trung đường qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm những cạnh của một tứ giác lồi kẻ những đường trực tiếp vuông góc cùng với cạnh đối diện. Chứng tỏ rằng giả dụ ba trong số các đường đó đồng quy thì cả tứ đường thẳng đồng quy.

Bài 40.

Xem thêm: Dàn Ý Thuyết Minh Về Đôi Dép Lốp Trong Kháng Chiến Tlv Số 3, Lớp 8

Trong khía cạnh phẳng cho $ n $ điểm riêng biệt $ A_1,A_2,…,A_n $, và $ n $ số thực không giống không $ lambda_1,lambda_2,…,lambda_n $ thế nào cho $ A_iA_j^2=lambda_i+lambda_j $. Chứng minh rằng $ n leqslant 4 $ và nếu $ n=4 $ thì $ frac1lambda_1+frac1lambda_2+frac1lambda_3+frac1lambda_4=0 $.