Hướng dẫn giải bài §3. Giá chỉ trị lớn số 1 và giá chỉ trị nhỏ dại nhất của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ gia dụng thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài bác giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng đúng theo công thức, lý thuyết, cách thức giải bài xích tập giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Toán 12 trang 23


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.

– Số $M$ là giá chỉ trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $f$ trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) le M,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext sao để cho f(x_0) = M hfill cr ight.)

Kí hiệu : (M=undersetDmax f(x).)

– Số $m$ là giá bán trị bé dại nhất (GTNN) của hàm số $f$ bên trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) ge m,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext sao để cho f(x_0) = m hfill cr ight.)

Kí hiệu: (m=undersetDmin f(x).)

2. Phương pháp tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lí:

Mọi hàm số thường xuyên trên một đoạn đều phải có GTLN với GTNN trên đoạn đó.


Quy tắc search GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tiếp trên đoạn

– Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) nhưng tại đó f"(xi) = 0 hoặc f"(xi) không xác định.

– Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .

– khi đó: (undersetmax f(x)=max left f(a); f(b); f(x_i) ight \);

(undersetmin f(x)=min left f(a); f(b); f(x_i) ight ;)

Để kiếm tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập thích hợp D, ta có thể khảo sát sự biến hóa thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng trở nên thiên của hàm số mà kết luận về GTLN với GTNN của hàm số.

Dưới đó là phần hướng dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài bác tập trong phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang trăng tròn sgk Giải tích 12

Xét tính đồng biến, nghịch biến đổi và tính giá bán trị lớn nhất, giá trị bé dại nhất của hàm số:


a) $y = x^2$ trên đoạn $<-3; 0>$;

b) (y = frac (x + 1)(x – 1)) bên trên đoạn $<3; 5>$.

Trả lời:

a) Ta có: $y’ = 2x ≤ 0$ bên trên đoạn $<-3; 0>$. Vậy hàm số nghịch biến hóa trên đoạn $<-3,0>$.

Khi đó trên đoạn $<-3,0>$: hàm số đạt giá bán trị lớn nhất tại $x = -3$ với giá trị lớn số 1 bằng $9$, hàm số đạt giá trị nhỏ dại nhất trên $x = 0$ và giá trị nhỏ dại nhất $= 0$.

b) Ta có: (y’ = – frac2(x-1)^2)

Khi kia trên đoạn $<-3,5>$: hàm số đạt giá bán trị lớn nhất tại $x = 3$ và giá trị lớn nhất bằng $2$, hàm số đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất trên $x = 5$ và giá trị bé dại nhất $= 1.5$.

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 21 sgk Giải tích 12

*

Trả lời:

Hàm số:

(y = left{ matrix{– x^2 + 2,;,, – 2 le x le 1 hfill crx,,;,,,1

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 23 sgk Giải tích 12




*

Vậy giá trị bé dại nhất của hàm số đã chỉ ra rằng $ -1$ tại $x = 0$.Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

slovenija-expo2000.com ra mắt với các bạn đầy đủ cách thức giải bài xích tập giải tích 12 kèm bài xích giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 của bài §3. Giá chỉ trị lớn nhất và giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của hàm số vào Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ đồ dùng thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12

1. Giải bài bác 1 trang 23 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị mập nhất, giá chỉ trị nhỏ dại nhất của hàm số:

a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) trên những đoạn (<-4; 4>) và (<0;5>).

b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) trên những đoạn (<0;3>) cùng (<2;5>).

c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên những đoạn (<2;4>) với (<-3;-2>).

d) (y =sqrt(5-4x)) bên trên đoạn (<-1;1>).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)

– Tập xác định (D=mathbbR).

– Hàm số liên tiếp trên những đoạn <-4;4> với <0;5> nên bao gồm GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

♦ trên đoạn <-4;4>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá bán trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).

– giá chỉ trị nhỏ dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)

♦ trên đoạn <0;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)

– giá chỉ trị nhỏ dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)

b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)

– Tập xác định $D=R$

– Hàm số liên tục trên những đoạn (<0;3>) và (<2;5>) nên có GTLN cùng GTNN trên các đoạn này:

– Đạo hàm: y’=4x3-6x.

♦ bên trên đoạn <0;3>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.

Vậy:

– giá trị lớn nhất của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)

– giá trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)

♦ trên đoạn <2;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

– giá bán trị lớn nhất của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)

– giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)

c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))

Hàm số gồm tập xác minh D = R 1 và liên tục trên các đoạn <2;4> và <-3;-2> trực thuộc D, cho nên hàm số tất cả GTLN, GTNN trên từng đoạn này.

Ta gồm :

Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)

Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)

Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) với (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)

♦ trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)

Vậy:

– giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)

– giá trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)

♦ trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)

Vậy:

– giá bán trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)

– giá trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)

d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))

Hàm số có tập xác định ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) nên khẳng định và thường xuyên trên đoạn <-1;1>, cho nên vì thế có GTLN, GTNN bên trên đoạn <-1;1>.

Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x

2. Giải bài 2 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong số các hình chữ nhật cùng gồm chu vi 16 cm, hãy search hình chữ nhật có diện tích s lớn nhất.

Bài giải:

♦ bí quyết 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu $x, y$ trang bị tự là chiều dài cùng chiều rộng của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.

Khi kia chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$

Ta có diện tích s của hình chữ nhật là:

$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.

Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ trên khoảng chừng $(0, 8)$ ta có:

$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$

Bảng đổi thay thiên:

*

Từ bảng phát triển thành thiên ta thấy hàm số đạt giá chỉ trị lớn nhất tại x=4 lúc ấy maxS = 16.

Với $x=4$ suy ra $y=4$.

Vậy hình vuông vắn có cạnh bằng $4$ là hình có diện tích s lớn nhất.

3. Giải bài 3 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong tất cả các hình chữ nhật thuộc có diện tích $48 m^2$, hãy xác minh hình chữ nhật tất cả chu vi nhỏ dại nhất.

Bài giải:

♦ cách 1: sử dụng bất đẳng thức cô-si:

*

♦ giải pháp 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài cùng chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi kia chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)

Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) trên (left( 0;+infty ight)) ta có:

(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)

Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)

(eginalign & undersetx o 0mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & undersetx o +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ & Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)

Bảng phát triển thành thiên:

*

Từ bảng thay đổi thiên ta có: (min p. = 16sqrt 3) lúc (x = 4sqrt 3 ,).

Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).

Vậy hình vuông vắn có cạnh (4sqrt 3 ,) là hình có chu vi nhỏ dại nhất theo yêu thương cầu bài bác toán.

4. Giải bài bác 4 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị bự nhất của các hàm số sau:

a) (y=frac41+x^2).

Xem thêm:
" Thời Đại Là Gì ? Hiểu Thêm Văn Hóa Việt Nội Dung Và Đặc Điểm Của Thời Đại Ngày Nay

b) (y=4x^3-3x^4).

Bài giải:

a) (y=frac41+x^2.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=frac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=frac-8xleft( 1+x^2 ight)^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)

(undersetx o pm infty mathoplim ,frac41+x^2=0.)

Ta bao gồm bảng đổi mới thiên:

*

Từ bảng phát triển thành thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=0; undersetRmathopmax ,y=4.)

b) (y=4x^3-3x^4.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=12x^2-12x^3Rightarrow y’=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ & x=1 \ endalign ight..)

(undersetx o pm infty mathoplim ,y=undersetx o pm infty mathoplim ,left( 4x^3-3x^4 ight)=-infty .)

Ta tất cả bảng trở nên thiên:

*

Theo bảng biến hóa thiên ta thấy hàm số đạt GTLN trên (x=1; undersetRmathopmax ,y=1.)

5. Giải bài bác 5 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị bé dại nhất của các hàm số sau:

a) (y = left | x ight |);

b) (y = x+frac4x ( x > 0))

Bài giải:

a) (y=left| x ight|.)

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

Tập xác định: (D=R.)

Ta có bảng thay đổi thiên:

*

Từ bảng trở thành thiên ta tất cả hàm số đạt GTNN trên (x=0; undersetRmathopmin ,=0.)

b) (y=x+frac4x left( x>0 ight).)

Ta có: (y’=1-frac4x^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 1-frac4x^2=0Leftrightarrow x^2-4=0Leftrightarrow left< eginalign& x=-2 otin left( 0;+infty ight) \ và x=2in left( 0;+infty ight) \ endalign ight..)

Bảng phát triển thành thiên:

*

Từ bảng thay đổi thiên ta thấy: (undersetleft( 0;+infty ight)mathopMin,y=4 khi x=2.)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 với giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12!