Bài viết trình diễn công thức tính thể tích khối vỏ hộp và một số trong những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: V khối hộp

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNGHình hộp: là hình lăng trụ tứ giác gồm đáy là hình bình hành.Hình hộp bao gồm $6$ phương diện là hình bình hành, $4$ đường chéo đồng qui tại tâm hình hộp.Thể tích của khối hộp bởi tích số của diện tích mặt dưới và chiều cao của khối hộp đó.Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng và tất cả đáy là hình chữ nhật.Gọi $a$, $b$, $c$ là $3$ kích cỡ thì bao gồm đường chéo: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2 $, diện tích s toàn phần: $S = 2(ab + bc + ca)$ với thể tích khối vỏ hộp chữ nhật: $V = abc.$Hình lập phương: là hình vỏ hộp chữ nhật gồm $3$ kích thước bằng nhau.Gọi $a$ là cạnh hình lập phương thì bao gồm đường chéo: $d = asqrt 3 $, diện tích toàn phần: $S = 6a^2$ với thể tích khối lập phương: $V = a^3.$

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNGBài toán 1: Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$, hiểu được $AA’B’D’$ là khối tứ diện gần như cạnh $a.$

*

Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều đề nghị đường cao $AH$ của nó có hình chiếu $H$ là trung khu của tam giác đầy đủ $A’B’D’.$Suy ra: $A’H = fracasqrt 3 3$, $AH = sqrt AA‘^2 – A"H^2 = fracasqrt 6 3.$Ta bao gồm đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi tất cả góc $B’A’D’$ bởi $60°$ nên:$S_A’B’C’D’ = A’B’.A’D’sin 60^0 = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy thể tích khối vỏ hộp đã mang lại là: $V = S.h = fraca^2sqrt 3 2 cdot fracasqrt 6 3 = fraca^3sqrt 2 2.$

Bài toán 2: mang đến khối hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có tất cả các cạnh cân nhau và bởi $a$, $widehat A_1AB = widehat BAD = widehat A_1AD = alpha $ $left( {0^0 Tam giác $A_1BD$ cân (do $A_1B = A_1D$).Suy ra $BD ot A_1O.$Mặt không giống $BD ot AC.$Suy ra: $BD ot left( A_1AO ight)$ $ Rightarrow BD ot A_1H.$Do đó $A_1H ot (ABCD).$Đặt $widehat A_1AD = varphi .$Hạ $A_1K ot AD$ $ Rightarrow HK ot AK$.Ta có: $cos varphi .cos fracalpha 2 = fracAHAA_1 cdot fracAKAH = fracAKAA_1$ $ = cos varphi $ yêu cầu $cos varphi = fraccos alpha cos fracalpha 2.$Do đó: $A_1H = asin varphi $ $ = asqrt 1 – fraccos ^2alpha cos ^2fracalpha 2 $ $ = fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$$V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = AB.AD.sin alpha .A_1H$ $ = a^2sin alpha .fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha $ $ = 2a^3sin fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$

Bài toán 3: mang đến khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy là hình chữ nhật với $AB = sqrt 3 $, $AD = sqrt 7 $ và các ở kề bên bằng $1.$ nhì mặt mặt $(ABB’A’)$ với $(ADD’A’)$ lần lượt tạo nên với đáy phần đông góc $45°$ cùng $60°.$ Hãy tính thể tích khối hộp.

Xem thêm: Cách Cúng Sao Thái Bạch Kỵ Tháng Mấy ? Sao Thái Bạch Tốt Hay Xấu

*

Hạ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AD$, $HK ot AB.$Ta có: $AD ot A’M$, $AB ot A’K.$$ Rightarrow widehat A’MH = 60^0$, $widehat A’KH = 45^0.$Đặt $A’H = x.$Khi đó:$A’M = x:sin 60^0 = frac2xsqrt 3 .$$AM = sqrt AA‘^2 – A"M^2 $ $ = sqrt frac3 – 4x^23 = HK.$Mà $HK = xcot 45^0 = x$ đề xuất $x = sqrt frac3 – 4x^23 Rightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt frac37 = 3.$

Bài toán 4: mang lại khối lăng trụ tứ giác phần đa $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $AB$ và $A_1D$ bằng $2$ và độ nhiều năm đường chéo cánh của khía cạnh bên bởi $5.$a) Hạ $AK ot A_1D$ $left( K in A_1D ight).$ chứng tỏ rằng: $AK = 2.$b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A_1B_1C_1D_1.$

*

a) $AB//A_1B_1$ $ Rightarrow AB//left( A_1B_1D ight).$$ Rightarrow dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight).$Ta có: $A_1B_1 ot left( AA_1D_1D ight)$ $ Rightarrow A_1B_1 ot AK.$Mặt khác: $A_1D ot AK$ $ Rightarrow AK ot left( A_1B_1D ight).$Vậy $AK = dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight) = 2.$b) Xét tam giác vuông $A_1AD$, ta có: $AK^2 = A_1K.KD.$Đặt $A_1K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4.$Với $x = 1$, $AD = sqrt AK^2 + KD^2 = 2sqrt 5 $, $AA_1 = sqrt A_1D^2 – AD^2 = sqrt 5 .$Khi đó $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 20sqrt 5 .$Với $x = 4$, tựa như ta có: $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 10sqrt 5 .$

Bài toán 5: đến hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có toàn bộ các cạnh đều bởi $d$ và cha góc của đỉnh $A$ đều bằng $60°.$a) Tính độ dài các đường chéo cánh và thể tích $V$ của hình hộp.b) Tính khoảng cách giữa nhị mặt song song của hình hộp.c) hoàn toàn có thể cắt hình hộp bằng một phương diện phẳng làm thế nào cho thiết diện dấn được là 1 hình vuông?

*

a) Đặt $overrightarrow AA’ = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$, $overrightarrow AD = vec c$ thì $vec a.vec b = vec b.vec c = vec c.vec a = fracd^22.$Ta có: $overrightarrow AC‘^2 = (vec a + vec b + vec c)^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 + 2vec a.vec b + 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 6d^2.$Suy ra: $AC’ = dsqrt 6 .$Ta có: $overrightarrow BD’ ^2 = (overrightarrow a – overrightarrow b + overrightarrow c )^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 – 2vec a.vec b – 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 2d^2.$Suy ra: $BD’ = dsqrt 2 .$Tương từ bỏ $DB’ = CA’ = dsqrt 2 $ bắt buộc ta có $AA’BD$ là hình tứ diện phần nhiều cạnh $d$, nên: $V_left( AA’BD ight) = fracd^3sqrt 2 12.$Do đó $V = 6V_AA’BD = fracd^3sqrt 2 12.$b) gọi $h$ là khoảng cách giữa nhì mặt phẳng $(ABCD)$ cùng $(A’B’C’D’)$ thì:$V = S_ABCD.h = fracd^2sqrt 3 2$ $ Rightarrow h = fracdsqrt 6 2.$Tương từ bỏ thì các khoảng cách giữa nhì mặt tuy vậy song nào thì cũng bằng $fracdsqrt 6 2.$c) Hình bình hành $BCD’A’$ có những cạnh bằng $d$ cùng hai đường chéo cánh bằng $dsqrt 2 $ nên nó là hình vuông.Vậy hình hộp có thiết diện $BCD’A’$ là hình vuông.Tương tự tiết diện $CDA’B’$ cũng là hình vuông.

Bài toán 6: mang đến hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ bao gồm đáy là hình vuông cạnh bởi $asqrt 3 $, $A$ phương pháp đều $A$, $B$, $C$, $D.$ Biết rằng khoảng cách từ giữa trung tâm $G$ của tam giác $AB’D’$ cho mặt phẳng $(AA’D’)$ bằng $fraca2.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã đến và khoảng cách từ trung tâm $O$ của hình vuông $A’B’C’D’$ đến mặt phẳng $(ADC’B’).$

*

Vì $G$ là trung tâm của tam giác $AB’D’$ bắt buộc $G$ vị trí đoạn thẳng $AO$ cùng $AG = frac23AO.$Ta có: $dleft( O;left( AA’D ight) ight) = frac32d(G,(AA’D)) = frac3a4.$Gọi $M$ là trung điểm của $A’D’.$Hạ $OH ot AM$ thì $OH ot left( AA’D’ ight).$Do kia $OH = dleft( O;left( AA’D’ ight) ight) = frac3a4.$Tam giác $AOM$ vuông trên $O:$$frac1OH^2 = frac1OA^2 + frac1OM^2$ $ Leftrightarrow frac169a^2 = frac1OA^2 + frac43a^2$ $ Rightarrow OA = frac3a2.$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.OA = 3a^2.frac3a2 = frac9a^32.$Gọi $N$ là trung điểm của $B’C’.$ Hạ $OK ot AN.$Ta tất cả $OK ot left( ADC’B’ ight)$ buộc phải $OK = dleft( O,left( ADC’B’ ight) ight).$Tam giác $AON$ vuông tại $O:$$frac1OK^2 = frac1OA^2 + frac1ON^2$ $ = frac49a^2 + frac43a^2 = frac169a^2$ $ Rightarrow OK = frac3a4.$Vậy khoảng cách từ chổ chính giữa $O$ của hình vuông vắn $A’B’C’D’$ cho mặt phẳng $(ADC’B’)$ là $OK = frac3a4.$

Bài toán 7: mang lại hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình chữ nhật. $AB = asqrt 3 $, $AA’ = AC = 2asqrt 3 .$ Hình chiếu của $B$ lên khía cạnh phẳng $(A’B’C’D’)$ là trung điểm $O$ của $B’D’.$ Tính thể tích khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và cosin của góc giữa hai tuyến đường thẳng $AC$ với $BB’.$

*

Ta bao gồm $O$ là trung ương của hình chữ nhật $A’B’C’D’$ cần $BO ot left( A’B’C’D’ ight).$Tam giác vuông $ABC:$$BC = sqrt AC^2 – AB^2 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Tam giác vuông $BOB’$ ta có:$BO = sqrt BB‘^2 – B"O^2 $ $ = sqrt BB‘^2 – fracAC^24 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Nên $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.BO = AB.BC.BO$ $ = asqrt 3 .3a.3a = 9a^3sqrt 3 .$Ta bao gồm $cos left( AC,BB’ ight) = cos left( A’C’,AA’ ight) = left| cos widehat AA’O ight|.$Vì $BO ot (ABCD) Rightarrow BO ot AB.$Tam giác $ABO$ vuông cân nặng tại $B:$ $AO = sqrt AB^2 + BO^2 $ $ = sqrt 3a^2 + 9a^2 = 2asqrt 3 .$Áp dụng định lý cosin vào tam giác $AA’O$ ta có:$cos widehat AA’O = fracA"A^2 + A"O^2 – AO^22A’A.A’O$ $ = frac12a^2 + 3a^2 – 12a^22.2asqrt 3 .asqrt 3 = frac14.$Vậy $cos left( AC,BB’ ight) = frac14.$

Bài toán 8: cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình bình hành, $AB = 2a$, $BC = a$, $widehat BAD = 60^0$, góc giữa mặt đường thẳng $B’C$ cùng mặt phẳng $(ACC’A’)$ bởi $30°.$ Tính thể tích khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$, $DD’$ với $M$ là trung điểm của $CC’.$

*

Hạ $BH ot A’C’$ thì gồm $BH ot left( ACC’A’ ight).$Từ đó suy ra góc giữa $B’C$ và mặt phẳng $left( ACC’A’ ight)$ bằng $widehat B’CH.$Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ ta có:$AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2.BC.BAcos 120^0$ $ = a^2 + 4a^2 – 2a.2aleft( – frac12 ight) = 7a^2.$Suy ra $AC = asqrt 7 .$Ta có: $B’H = frac2S_A’B’C’A’C’ = fracB’A’.B’C’.sin 120^0A’C’$ $ = fraca.2a.fracsqrt 3 2asqrt 7 = fracasqrt 21 7.$Tam giác vuông $B’CH:$ $B’C = fracB’Hsin 30^0 = frac2asqrt 21 7.$Tam giác vuông $BB’C:$ $BB’ = sqrt B"C^2 – BC^2 $ $ = sqrt frac84a^249 – a^2 = fracasqrt 35 7.$Nên: $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.ADsin 60^0.AA’$ $ = 2a.a.fracsqrt 3 2.fracasqrt 35 7 = fraca^3.sqrt 105 7.$Ta gồm $AM$ song song cùng với $(ACC’A’).$Do đó $dleft( DD’,AM ight)$ $ = dleft( DD’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( D’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( B’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = B’H = fracasqrt 21 7.$